Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Абрикосов А.А. -> "Методы квантовой теории поля в статической физике" -> 36

Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.

Абрикосов А.А., Горьков Л.П., Ехиельвич Д.И. Методы квантовой теории поля в статической физике — М.: Физматгиз, 1962. — 446 c.
Скачать (прямая ссылка): metodikvantovoyteorii1962.djvu
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 129 >> Следующая


0<°> (о) —_-_

УР> ш _ 5 (р) _)_ a sign = (р)'

где 8-> + 0;

2) каждой фононной (пунктирной) линии сопоставляется (см. (7.16))

л юо(*>

о( Ь J-^lik) +ib'

где 8-> + 0;

3) по п независимым импульсам производится интегрирование;

4) результат интегрирования множится на

/О \-4Л г;\П і 1 \Р g (2іг) (і) (— 1) ,

где F -— число замкнутых петель.

Например, диаграмме второго порядка на рис. 19 соответствует выражение

- 2 [ D(0) (kjf G(0) (P) G(0) (P - к). § 9] правила построения диаграмм"

119

В. Внешнее поле. Как уже было отмечено, в случае внешнего поля пространство становится неоднородным и 0(х, х') перестает быть функцией только разности х — х'. Ввиду этого мы будем рассматривать функцию Ga^ (р, р'), являющуюся фурье-преобразованием от 0^(х, х'), по обоим переменным:

' Ol? (X, *') = f Ga? (р. р') еЧ"- gi.

Преобразуя по Фурье выражение, соответствующее диаграмме 15, а,

f dxAl (х — Xl> (Xi - x') vh ь со-

получаем:

Gw(P) V(P-P') G(0) (Pr). где V^(p)— фурье-компонента V^(x)\

Соответствующая диаграмма в импульсном пространстве изображена на рис. 20, а. Диаграмме следующего порядка, изображенной на рис. 20, б, соответствует выражение

G<0) (P) f Var (р - Pl) O(O) (J5l) ^ (Pl - р') I^L о<о) (Р>),

Таким образом, в диаграмме порядка п для G (р, р'):

1) левому внешнему концу сопоставляется G(0)(p), а правому — G^(p'); и )( к

2) крестик означает P р' р А р' фурье-компоненту внешнего a^ "J потенциала с импульсом, рав- Рис. 20.

ным разностиимпульсовО(10)-

линий, стоящих слева и справа от этого крестика;

3) по всем импульсам О(0,-линий, кроме двух внешних, производится интегрирование, а по спиновым переменным, от которых зависят V (кроме внешних),-—суммирование;

4) после интегрирования и суммирования выражение умножается на коэффициент (2ir)~4t"-1', 120 МЕТОДЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ поля ПРИ Г= 0 ІГЛ. II

§ 10. Уравнение Дайсона. Вершинная часть.

Многочастичные функции Грина

1. Суммирование диаграмм. Уравнение Дайсона. В большинстве задач квантовой статистики, как правило, нельзя ограничиться учетом нескольких первых членов ряда теории возмущений. Вместо этого приходится суммировать различные бесконечные последовательности членов, соответствующих так называемым «главным» диаграммам, вклад которых оказывается, в силу условий задачи, одинаковым по порядку величины. Замечательным свойством изложенной выше диаграммной техники для гриновских функций является тот факт, что суммированию какой-нибудь бесконечной (или конечной) совокупности членов ряда теории возмущений можно сопоставить своеобразное «графическое суммирование» диаграмм. Диаграмма, изображающая такую сумму, составляется из элементов, каждый из которых в свою очередь является результатом суммирования. Например, линии такой диаграммы могут изображать сумму какой-нибудь бесконечной последовательности членов теории возмущений для гриновской функции («сумму» диаграмм). Сопоставление диаграмме определенных выражений производится по тем же правилам, по каким вычислялись выражения по теории возмущений: каждой линии диаграммы сопоставляется соответствующая ей сумма диаграмм и т. д.

Возможность графического суммирования опирается на изложенные выше правила вычисления поправки к гриновской функции по соответствующей диаграмме. Уже беглый взгляд показывает, что это выражение строится как бы из отдельных кирпичей — гриновских функций и вершинных операторов, причем связывающим элементом («цементом») служит интегрирование по координатам (или импульсам). Это позволяет строить диаграмму не из простейших элементов — нулевых гриновских функций 0<°> и элементарных вершин, а сразу из целых блоков, составленных из большого числа простейших элементов.

Рассмотрим, например, диаграмму рис. 21, а. Мы можем, прежде всего, записать соответствующее ей выражение, пользуясь правилами диаграммной техники. Поступим теперь следующим образом. Вычислим сначала вклад диаграммы, представляющей собой часть исходной, обведенную на ри- § 10] УРАВНЕНИЕ ДАЙСОНА. ВЕРШИННАЯ ЧАСТЬ

121

сунке пунктиром, а затем запишем выражения, отвечающие диаграмме 21, б, но при этом перечеркнутой линии сопоставим не О<0), а усложненную линию. Нетрудно убедиться непосредственным вычислением, что оба способа дадут одинаковый результат.

Этот вывод обладает полной общностью. Мы можем всегда выделить из диаграммы для О часть, не содержащую

внешних линий и соединенную с остатком двумя О(0'-линиями, вычислить ее вклад, а выражение для всей диаграммы записать, пользуясь «сокращенной» диаграммой, где теперь уже вместо соответствующей линии следует подставить 1 1

вклад выделенной части.

ком двумя О<0)-(или Dfo'-) линиями, мы будем на- Рис-

зывать собственно энергетической частью. Неприводимой собственно энергетической частью мы назовем такую, которая не может быть разделена на две части, соединенные только одной G(0,-липией. Например, собственно энергетические части на рис. 9, 10, а и 10, в являются неприводимыми, а часть на рис. 10, б является приводимой. Всякая диаграмма для функции GwD представляет собой основную линию с нанизанными на нее неприводимыми собственно энергетическими частями, которые могут повторяться бесконечное количество раз и стоять в произвольной последовательности.
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 129 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed