Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
торых X1 связано с х4, a X0 — с х,, но нет свя-
а/ OJ ' зей между X1 и X3.
Рис. 27. Простейшие диаграм-
мы такого рода получаются в нулевом порядке по Hint и изображены на рис. 27. Им соответствуют выражения
Gay (X1 х3) G^ (X2 х4), а)
— Git? (X1 — х4) Gfj (х2 — х3). б)
Нетрудно видеть, что все более сложные диаграммы этой группы получаются путем добавления собственно энергетических частей к О(0'-линиям, т. е. v путем замены тонких О(0)-линий на жирные G-линии. '//!
Другая группа представляет собой fS v
совокупность всех диаграмм, не рас- aJ У
падающихся на отдельные части. Рис. 28.
Простейшая диаграмма такого типа
получается в первом порядке по Hint и имеет вид, изображенный на рис. 28, а. Ей соответствует выражение
(X1 - х[) Gg (X2 - х'2) GW {Х'3 - X3) Og4 (х; - X4) X
Х Гт?т2. T3T4 d% d% d% d%-
Более сложные диаграммы получаются из 28, а путем усложнения концевых О(0)-линий и замены квадрата более сложными образованиями с четырьмя вершинами, как, например, на рис. 23. При этом в приведенной выше формуле О(0) заменяются на О, а вместо Г(0) появляется величина Г, отвечающая совокупности всех возможных диаграмм с четырьмя § 10] УРАВНЕНИЕ ДАЙСОНА. ВЕРШИННАЯ ЧАСТЬ 129
внешними концами, иначе говоря, рис. 28, а переходит в рис. 28, б.
Из приведенных рассуждений следует, что величину 0?, ^(X1X2', х3х4) удобно представить в виде
Gi13l Т5 (X1X2; X3X4) = G4 (X1 — х3) G35 (х2 — х4) —
— GaS (Xx — Xi) Gri (х2 — х3) +
+¦< / • • • d%G«h к - °?Г2 - к) X
XGT3ix'-x3)Gv;(x;-x4/r7|VW4(x;x;; х^), (10.14)
причем величина Г соответствует введенной ранее вершинной части.
Последний член в уравнении (10.11) равен
Раскрывая Gt т ; ^3 согласно формуле (10.14) и учитывая антисимметрию Гі0) по аргументам с индексами 3 и 4, получаем из уравнения (10.11):
(t — H0 + pj Gaо (X — х') — г У rf1x2 (IiX3ClsX4 X
X I1O^; у (хх2; х3х4) Gr3J2 (х3 х2) Gji?(х4 X ) -(-
+ 2- J d X2 ... d XgTaj^ j^j^ (хх2; х3х4) X
X 0Т<Т6 (х4 х6) Gy3y6 (х3 х5) Gt^ (х7 х2) Gj^? (х8 х') X
X Гт6т6, T7Ts (jW -?) = 8^ — х'^. (10.15)
Ввиду однородности пространства величины Г и G" зависят только от трех разностей координат. Поэтому фурье-компоненты этих величин удобно определить так же, как и в случае Г<0). Например,
rV [S(Pi. P2: Pi- Pi + P2- Pi)(2тс)48(P1 + P1 —Pi — Pa) = = Jfa?, jj(X1X2; х3хА)е-1Р*-'Р*ч 'Р'л +'P^diX1 . . . d4x4.
,10.16) 130 МЕТОДЫ кВАНтбВОЙ ТЕОРИЙ ПОЛЯ при T= 0 [гл. [t
Связь фурье-компонент On и Г, согласно (10.14), определяется уравнением
G"?, Г8 (Pv Р* Ps- PljTP2- Рз) = °аТ (Pl) Gps (P2) X
X 8 (P1 - р3) (2u)4 - Gtt8 (P1) Gpt (P2) 8 (P2 - P3) (2и)4 + + 'Gay1 (Pl) G?Tj (P2) Gw (P3) Ої(,; (P1 4- P2 — P3) X
XrW T3T4^i' Py Pi-jTP2-Pz)- (10.17)
Производя фурье-преобразование уравнения (10.15), мы получаем уравнение (10.5). Таким образом, уравнение Дайсона выведено аналитическим путем, причем входящая в него
дует, что правила сопоставления каждой диаграмме соответствующих выражений остаются теми же, что и при вычислении О. В этом нетрудно убедиться и непосредственным образом, если воспользоваться аналитическим определением Г и действовать дальше в полной аналогии с методами предыдущего параграфа.
Обычно при вычислении Г бывает удобно предварительно произвести частичное суммирование отдельных частей. Для этой цели мы введем понятие компактной диаграммы. Так мы будем называть диаграмму, не содержащую собственно энергетических частей. Например, диаграммы на рис. 23 и 29,6 и в—компактные, а диаграмма на рис. 29, a — некомпактная. Все диаграммы для Г могут быть получены из компактных путем добавления собственно энергетических частей к внутренним О(0)-линиям, т. е. путем замены О(0'-линий на полные G-линии. Таким образом, для вычисления Г достаточно ограничиться изображением компактных диаграмм и
величина Г определяется соотношениями (10.12), (10.17) и (10.16).
Рис. 29.
Вычисление Г может быть осуществлено путем суммирования диаграмм. Примеры таких диаграмм приведены на рис. 23, а также на рис. 29, а, б, в. Уже из того, что диаграммы для Г можно рассматривать как некоторую часть диаграмм для G-функции, еле- § 10] УРАВНЕНИЕ ДАЙСОНА. ВЕРШИННАЯ ЧАСТЬ 131
каждой сплошной линии на диаграмме сопоставлять полные G-функции.
Б. Взаимодействие электронов с фононами. Взяв Hint в виде (9.5), находим последний член в уравнении (10.11):
- ^ <7-(фв(*)фр+(*')?(*))>.
Величине
= <Г(І(*і)ФР+(*2)<?(*з))> (Ю-1»)
тоже может быть поставлена в соответствие совокупность диаграмм Файнмана с одним фононным и двумя электронными концами. Простейшая из этих диаграмм получается в первом порядке теории возмущений (рис. 30, а) и равна
- / Л'О(0) (*, - У) G(0) (У - X2) D(0> (у - X).
Рассуждая так же, как и раньше, мы можем сопоставить величине Pa? диаграмму 30, б, равную
(Х1Х2> ~ ^afiP (Х1Х2> *з) ~
= — Ъ«? f d^x'^x'^x'fi (X1 — х\) G (х2 — X2) D (х'3 — х3) X
XT(XjX2; х3). (10.19)
Функция Г соответствует совокупности всех диаграмм с тремя внешними концами (одним фононным и двумя электронными). Таким образом, Г представляет собой вершинную часть для электрон-фононного взаимодействия. Ввиду однородности пространства величины Г и P зависят только от двух разностей координат. Поэтому, например, преобразование Г в интеграл Фурье можно представить в форме
