Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Г (р, р — k; k) (2тс)4 Ь(р — р' — k) =
= Jrf4x1rf4x2rf4x3r(x1x2; х3) е-iPjc^+iP'x^ikx». (10.20)
Соотношение между фурье-компонентами Г и P имеет вид P {p. P — k] k) = — G(p)G(p—k)D(k)V(p, р — k; k).
(10.21) 132 МЕТОДЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ ПРИ 7"=0 [гл. ii
Выражая последний член уравнения (10.11) для электрон-фононного взаимодействия с помощью формул (10.18) и (10.19), мы находим уравнение для О в координатном пространстве. Производя фурье-преобразование этого уравнения с помощью формулы (10.20), мы получаем уравнение Дайсона (10.7).
Все изложенное о вычислении вершинной части для двухчастичного взаимодействия остается справедливым и в данном случае. Для вычисления Г надо изобразить все компактные диаграммы и сопоставить им аналитические формулы по тем же правилам, что и при вычислении О. При этом каждая сплошная линия будет означать полную G-функцию, каждая пунктирная — полную D-функцию. Примеры приведены на рис. 31.
Остановимся на смысле функций On и Р, введенных нами в процессе вывода уравнений Дайсона. Эти функции, а также другие средние от хронологи-зированных произведений большего числа операторов поля называют многочастичными функциями Грина. Сами функции GhD называются поэтому одночастичными функциями Грина. Многочастичные функции Грина, так же как и одночастичные, определяют макроскопические свойства систем. В частности, двухчастичная функция Грина G11 определяет поведение системы электронов во внешнем электромагнитном поле (см. гл. VI). Ввиду того, что эти функции зависят от большого числа аргументов, анализ их аналитических свойств представляет значительные трудности. Проще обстоит дело, когда некоторые аргументы считаются равными. Например, если в функции G11 считать X1 = X3, X2=X4, то аналитические свойства фурье-преобра-зования этой функции по переменной X1 — X2 те же, что и у гриновской функции фононов D(u), k). Так как обычно представляют интерес именно такие частные случаи, то прощ& определять аналитические свойства соответствующих конкретных гриновских функций, не прибегая к изучению общего случая.
Полюсы фурье-компонент многочастичных функций, так же как и полюсы G (р) и D(k), определяют спектр возбуждений системы. Среди них обязательно содержатся все полюсы § 10] УРАВНЕНИЕ ДАЙСОНА. ВЕРШИННАЯ ЧАСТЬ
133
G (р) и D(k). Однако, кроме этих полюсов, могут появиться новые, соответствующие другим ветвям спектра возбуждений. Мы не будем заниматься общим анализом этого вопроса. В гл. IV, § 19 рассмотрен конкретный пример; найдено уравнение для полюсов двухчастичной гриновской функции ферми-системы и показано, что эти полюсы определяют бозевские ветви спектра возбуждений.
Для вычисления многочастичных гриновских функций в принципе можно было бы написать уравнения, аналогичные уравнениям Дайсона, которые связывают эти функции с функциями следующих порядков. Однако на практике такая процедура не дает каких-либо полезных результатов и проще непосредственно суммировать диаграммы. При этом часто оказывается, что определенная последовательность диаграмм является наиболее существенной. Обычно в таких случаях суммирование диаграмм не представляет большого труда.
Подчеркнем здесь еще раз простую связь между функциями Gn и P и вершинными частями.
3. Энергия основного состояния. В заключение этого параграфа выведем несколько формул, которые дают возможность получить поправку к энергии основного состояния, происходящую от взаимодействия частиц.
Вычтем из уравнения (10.11) соответствующее уравнение для функции G(0). При этом получим:
(г' Ж + Ш+ AI0-P- - (х - x^ =
= -1 (T(ll(x), Hlnt], tyt(x'))).
Положим г->г' и t'—>t-j-0. Затем проинтегрируем обе ч-асти по г. При этом находим:
V (Hini) = - if агшг (4 + А + ^ X *'-»< + о
X [Gaa (х- X') -G^ (х-х')1
где V—число операторов входящих в Hint. Предположим, что гамильтониан взаимодействия пропорционален какой-то константе g (такую константу всегда можно ввести). Энергия основного состояния (точнее, потенциал Q = E—pN) как функция [і равна Q=(H—\>.N). 134 методы квантовой теории поля при 7"=0 [гл. ii
В силу известной статистической формулы (см. книгу Ландау и Лифшица [1])
Интегрируя это соотношение по dg от 0 до g, получаем:
о 1
где Q0—потенциал для невзаимодействующих частиц. Подставляя сюда найденное выше выражение (Hint) через гриновскую функцию, получаем:
0 <'->/+о
X [Оаа(х-х')-Ofl (х-х')\.
Полагая Gap (х — х') = BapG (х—х'), переходя к импульсному представлению и воспользовавшись уравнением для О(0),
находим окончательно: g
о о _ 21 1/ Г dSx Г d*p
а-Ц>- , vJ gl J (2л)4 X
о
X Oi0rl (р) [о (P) — О(0) (p)] в'«', (10.23)
где t——|— 0, V—объем системы.
Еще одну полезную формулу можно получить из соотношения (см. [1])
/дОЛ
\дт )Т у^~~\дт/'
Поскольку
/ко-Ч (О.*г.
то
^=-W'Il 4?~ х>) Idr'
L t'-*t+о J § 10] уравнение дайсона. вершинная часть 135
Переходя к фурье-компонентам, получаем:
с10-24'
где <-> + 0.
Наконец, здесь уместно еще напомнить формулу, приведенную в § 7,
