Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
фа (г, х) = ет tf-v-u) ^ (г) е-" <-Й-
ф. (г, X) = ет (г) е-* (11.3)
ср (Г, х) = ср (г) .
С их помощью громоздкие выражения типа (11.1) записываются в виде (ср. (7.1), (7.14)):
I 2 + 1iN-H „ )
OepC111X1Jr2. T2) = -Sp\e г Х!)фр(Г2, т2))/э
^ (ф. C1. х,)фр(г2. X2))). (11.4)
Символ Tx в (11.4) означает уже знакомую по предыдущей главе операцию Г-упорядочения. Операторы, стоящие под знаком 7^-произведения, располагаются слева направо в порядке убывания «времени» х (мы снабдим символ Г-произведения индексом X, чтобы отличить его от температуры 7). Напомним, что в случае ферми-частиц
7; OM2.. O = Sp^1 ....
где справа операторы ф расставлены в хронологическом порядке, а 8р равно 1 или —1, в зависимости от того, является перестановка
1, 2, . .. -> I1, I2, ... четной или нечетной. В частности,
7;(ф(1)ф(2))=ф(1)ф(2), X1 > т2,
Гт(ф(1)ф(2))= —ф(2)ф(1), т, < х2.
') Сразу же заметим, что фиф уже не являются эрмитовски сопряженными друг другу. 140 диаграммная техника при конечных температурах [гл. iii
Аналогичными соотношениями определяются и многочастичные функции Грина техники Мацубары. Так, двухчастичная температурная функция Грина имеет вид
@&т8(1. 2; 3, 4) = -(7т(ф„(1)Фр(2)їт(3)^(4))>. (11.5)
Обобщение на случай гриновских функций, зависящих от большего числа переменных, очевидно.
Функции © в принципе определяют все термодинамические свойства системы. Используя, например, формулу
N = ± J ©„(г, т; г, T +0)dr, (11.6)
вытекающую непосредственно из определения © и соотношения Af = J (г) фа (г) dr, можно вычислить число частиц в системе как функцию ее химического потенциала [а или, разрешая (11.6) относительно ja, химический потенциал как функцию температуры и плотности n = N/V. Интегри-
af
руя затем известное термодинамическое соотношение =
= |а (п, Т), можно найти свободную энергию единицы объема / (п, Т).
Если в системе имеют место только парные взаимодействия между частицами, описываемые гамильтонианом
Й=-4ігі ^(n^a(r)dr +
+ T / / dn dr^ (Г° (Ґ2) U (Л ~ Г2} Ь (Г2} ^
то ее энергия выражается через двухчастичную температурную функцию Грина:
?([A, T) = (H) = + ^f ДГ1®„(1. 2) — у// І/(Г! —T2JS^iр.(1. 2; 3, 4)
dr,
г, = т.
T2 = T1 +0
rt=n, T1=T1 т,= т4 + 0, т, = т,+0 т, = т2+0
drxdr2. § 11] температурные гриновские функции
141
В дальнейшем будет приведен еще ряд формул, связывающих температурные гриновские функции с термодинамическими величинами.
Круг вопросов, который можно разрешить с помощью температурных гриновских функций, не ограничивается только термодинамикой. Функции Грина определяют различные корреляционные свойства системы, проявляющиеся, в частности, во взаимодействии конденсированных тел с нейтронами, рентгеновскими лучами и т. д. Например, двухчастичная гриновская функция связана очевидным соотношением с функцией корреляции плотности
F (гх, г2) = п(г{)п(г3) = (ф«+ (Г0фос (гО (Г2) фр (г2)>,
определяющей упругое рассеяние рентгеновских лучей и нейтронов. Более того, в дальнейшем мы установим связь между температурными гриновскими функциями и соответствующими временными величинами, что позволит изучать различные кинетические явления.
Отметим теперь одно важное свойство температурной гриновской функции ©. Как уже упоминалось, она есть функция разности «зремен» X1 — х2 = х и, как таковая, задана в интервале от — IjT до 1/Т. Произведем в выражении (11.1) для ®(х<0) циклическую перестановку операторов под знаком следа 1):
© (х < 0) = ± Sp { (г,) (-+і/г)ф+ (г2)} =
( S + jiN-H 1
= ± Sp \ е т etf-v-K) (Т+1/Г)ф (Гі) e-w-v-ri) (т+1/Лф+ (r2)f •
(11.7)
Сравнивая (11.7) с формулой для ® при х>0 и замечая, что 0 < x-j-1/Г< 1/7" при X < 0, получаем соотношение
®(х<0)= + (11.8)
•) Возможность такой перестановки вытекает непосредственно из определения следа матрицы произведения нескольких операторов:
Sp (ABC ... DF) = 2 АikBklCim ... DnpFpl = і, k, ...
= 2 BklClm... DnpFpiAik = Sp (ВС ... DFA). і, к, ... 142 ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ПРИ КОНЕЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ [гЛ. III
связывающее © при отрицательных «временах» с ее значением при г > 0. Разумеется,
®(т<0)= ©(т + ^г). (11.8а)
Другое полезное соотношение вытекает из очевидной вещественности ©-функции фонона (операторы <р(г) вещественны 1). Вычислим формально величину 35*(х<0):
? (т < 0) == 35* (х < 0) = — Sp { вв/Лр (Гі) е№<р (Га) е-н,е-н/т}
Сравнивая полученное выражение с 35(т>0), мы приходим к выводу, что температурная гриновская функция фонона является четной функцией х:
®(т) = ®(—т). (11.9)
Это утверждение справедливо для гриновской функции любого вещественного ПОЛЯ.
2. Температурные гриновские функции свободных частиц. В теории возмущений, опирающейся на диаграммную технику, важную роль играют гриновские функции свободных частиц. При отсутствии взаимодействия статистическое усреднение в (11.1) производится независимо по состояниям каждой отдельной частицы. Уровни энергии системы En (а с ними и термодинамический потенциал 2) выражаются в виде суммы энергий отдельных частиц в состояниях с заданными импульсом р и проекцией спина а:
