Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Абрикосов А.А. -> "Методы квантовой теории поля в статической физике" -> 38

Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.

Абрикосов А.А., Горьков Л.П., Ехиельвич Д.И. Методы квантовой теории поля в статической физике — М.: Физматгиз, 1962. — 446 c.
Скачать (прямая ссылка): metodikvantovoyteorii1962.djvu
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 129 >> Следующая


но энергетических частей к вну- L-і t

тренним G(0)- и ?>(0)-линиям и за- OJ

меной правой вершины на сово- Рис. 25.

купность всех диаграмм с одним

фононным и двумя электронными концами. Эту величину мы будем называть вершинной частью Г (р, р—k; k) и изображать ее на диаграмме заштрихованным треугольником.

Таким образом, в случае электрон-фононного взаимодействия полная неприводимая собственно энергетическая часть для электрона S изображается диаграммой на рис. 25, б и равна

S = ^/0(p — k)D(k)T(p — k, р; k)^Y (10.6) ("здесь положено G^ — G8aj). § 10] УРАВНЕНИЕ ДАЙСОНА. ВЕРШИННАЯ ЧАСТЬ 125

Подстановка этого выражения в (10.1) дает уравнение Дайсона:

1* — Нр)] О (P)-ig f G(p-k)D(k)X

XT(p-k, p-, k)^-G(p)=l. (10.7)

Аналогичным образом собственно энергетическая часть для фононов, которую мы обозначим символом П, может быть получена из скелетной диаграммы на рис. 26, а заменой электрон- aJ

ных О(0)-линий полными G-ли- Рис. 26.

ниями и одной из констант g —

вершинной частью. При этом диаграмма 26, а переходит в 26, б, равную

II(A) = -2^/G(p)G(p-k)Y(p, р — k\ k)-^. (10.8) Уравнение Дайсона в этом случае имеет вид

ДО (A)J-«.§(*)] D (А) +

+ 2 Igf G(p)G(p-k)T(p, р-k-k) ^r D(A)=I. (10.9)

В. Внешнее поле. Для системы ферми-частиц во внешнем поле тоже может быть написано уравнение типа уравнений Дайсона. Принимая во внимание, что все диаграммы для G имеют вид цепочек, подобных рис. 15, мы приходим к выводу, что роль S играет фурье-компонента потенциала Va^. Уравнение Дайсона в этом случае имеет вид

1» — НР)]Ол?(р, P')- f Val (P-P1) O^ipv P')-^ji- = Ky

(10.10)

2. Вершинные части. Многочастичные функции Грина.

Уравнения Дайсона можно получить и непосредственно из уравнений движения для гейзенберговских операторов

'"Ж = [$¦(*>• H-Np],

H=-J (r)^tyAr)dr + Hlnt. . 126- МЕТОДЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ ПРИ T=O [гл. II

Операторы Я и JV мы можем представлять себе выраженными как через шредингеровские операторы фа(г), так и через гайзенберговские операторы фа(г, t), поскольку HuN

одинаковы в обоих представлениях.

* *

Выделяя Hint из H-^N и используя правила коммутации для операторов ф и ф+, взятых в один момент времени, получим:

Продифференцируем G-функцию по первому временному аргументу:

1Ga? (х, х') = <7 (ф. (X) ф?+ (*'))>•

Представим 7(...) в виде

6 (* - С) ф. (X) ф?+ (Xr) -b(f — (X') ф. (X),

\ 1. '>0,

где 6 (t) =

10. <<о.

Тогда имеем:

iTt0^x' х')==

= в (/ _ V) ф?+ (Xr) -B(tf- t) фз+ (X') +

+ 5(/ — О(ф.(г, 0фэ(г', /) 4-ф?+ (г', /)фв(г, /))==

Здесь мы использовали правила коммутации. Окончательно имеем:

('І + Ш + ї)0^*-

= 8 (х — х') 8а? — і (7'([фї (х) Hint], фэ" (х')У). (10.11)

Вид правой части зависит от конкретного взаимодействия, поэтому мы перейдем к рассмотрению отдельных частных случаев. § 10] УРАВНЕНИЕ ДАЙСОНА. ВЕРШИННАЯ ЧАСТЬ

127

А. Двухчастичное взаимодействие. Оператор Hint определяется формулой (9.2). Производя вычисления и приведя результат к симметричной форме (подобно тому как это было сделано при выводе (9.3)), получим выражение для последнего члена в (10.11):

Таким образом, задача сводится к нахождению среднего от хронологизированного произведения четырех ф-операторов. Эту величину мы будем называть двухчастичной функцией Грина:

OiifAxlX2; JC3JC4) = <^($.(*і)Ф?(*2)Фт+(*з)Ф«+(*4))>- (10Л2)

Согласно формуле (6.32), величина О" может быть выражена через операторы ф в представлении взаимодействия:

Вычисление этого выражения может быть произведено в полной аналогии с вычислением гриновской функции. Оператор S (со) в числителе разлагается в ряд по степеням Hint. Применяя затем теорему Вика, можно представить каждый член этого ряда в виде суммы членов, содержащих произведения функций О(0). Каждому из таких членов может быть сопоставлена диаграмма Файнмана. В отличие от диаграмм для гриновской функции все эти диаграммы будут обладать четырьмя внешними точками. Нетрудно увидеть, что, так же. как и раньше, достаточно учитывать только связанные диаграммы, т. е. такие, в которых нет частей, не связанных ни с одним из внешних концов; в то же время следует отбросить множитель (S (оо)) в знаменателе (10.13). Остается справедливым и другое правило, а именно, все выражения зависят от порядка диаграммы только посредством множителей X". Это дает возможность оперировать с частями диаграммы и производить частичные суммирования.



'^otI2; T3T4 (ХХ2'І Х3Х4) X

X (Т (? (X2) (X4) фТз (х3) (*'))>•

(Т (Ф, (X1) (х2) фт+ (х3) ф+ (X4)) S (со)) (S (со))

(10.13) 128 МЕТОДЫ кВАНтбВОЙ ТЕОРИЙ ПОЛЯ ПРИ T= 0 [гл. [t

Все связанные диаграммы для G11 делятся на две группы. К одной из них принадлежат такие диаграммы, в которых точка X1 последовательными спариваниями связывается с точкой х3, а точка X2 — с точкой х4, но, например, точки X1 и X4 оказываются изолированными друг от друга. Такие диаграммы распадаются на две отдельные части, не связанные друг с другом никакими линиями. К этой же группе мы „_„__ __ отнесем диаграммы, в ко-
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 129 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed