Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
но энергетических частей к вну- L-і t
тренним G(0)- и ?>(0)-линиям и за- OJ
меной правой вершины на сово- Рис. 25.
купность всех диаграмм с одним
фононным и двумя электронными концами. Эту величину мы будем называть вершинной частью Г (р, р—k; k) и изображать ее на диаграмме заштрихованным треугольником.
Таким образом, в случае электрон-фононного взаимодействия полная неприводимая собственно энергетическая часть для электрона S изображается диаграммой на рис. 25, б и равна
S = ^/0(p — k)D(k)T(p — k, р; k)^Y (10.6) ("здесь положено G^ — G8aj).§ 10] УРАВНЕНИЕ ДАЙСОНА. ВЕРШИННАЯ ЧАСТЬ 125
Подстановка этого выражения в (10.1) дает уравнение Дайсона:
1* — Нр)] О (P)-ig f G(p-k)D(k)X
XT(p-k, p-, k)^-G(p)=l. (10.7)
Аналогичным образом собственно энергетическая часть для фононов, которую мы обозначим символом П, может быть получена из скелетной диаграммы на рис. 26, а заменой электрон- aJ
ных О(0)-линий полными G-ли- Рис. 26.
ниями и одной из констант g —
вершинной частью. При этом диаграмма 26, а переходит в 26, б, равную
II(A) = -2^/G(p)G(p-k)Y(p, р — k\ k)-^. (10.8) Уравнение Дайсона в этом случае имеет вид
ДО (A)J-«.§(*)] D (А) +
+ 2 Igf G(p)G(p-k)T(p, р-k-k) ^r D(A)=I. (10.9)
В. Внешнее поле. Для системы ферми-частиц во внешнем поле тоже может быть написано уравнение типа уравнений Дайсона. Принимая во внимание, что все диаграммы для G имеют вид цепочек, подобных рис. 15, мы приходим к выводу, что роль S играет фурье-компонента потенциала Va^. Уравнение Дайсона в этом случае имеет вид
1» — НР)]Ол?(р, P')- f Val (P-P1) O^ipv P')-^ji- = Ky
(10.10)
2. Вершинные части. Многочастичные функции Грина.
Уравнения Дайсона можно получить и непосредственно из уравнений движения для гейзенберговских операторов
'"Ж = [$¦(*>• H-Np],
H=-J (r)^tyAr)dr + Hlnt. .126- МЕТОДЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ ПРИ T=O [гл. II
Операторы Я и JV мы можем представлять себе выраженными как через шредингеровские операторы фа(г), так и через гайзенберговские операторы фа(г, t), поскольку HuN
одинаковы в обоих представлениях.
* *
Выделяя Hint из H-^N и используя правила коммутации для операторов ф и ф+, взятых в один момент времени, получим:
Продифференцируем G-функцию по первому временному аргументу:
1Ga? (х, х') = <7 (ф. (X) ф?+ (*'))>•
Представим 7(...) в виде
6 (* - С) ф. (X) ф?+ (Xr) -b(f — (X') ф. (X),
\ 1. '>0,
где 6 (t) =
10. <<о.
Тогда имеем:
iTt0^x' х')==
= в (/ _ V) ф?+ (Xr) -B(tf- t) фз+ (X') +
+ 5(/ — О(ф.(г, 0фэ(г', /) 4-ф?+ (г', /)фв(г, /))==
Здесь мы использовали правила коммутации. Окончательно имеем:
('І + Ш + ї)0^*-
= 8 (х — х') 8а? — і (7'([фї (х) Hint], фэ" (х')У). (10.11)
Вид правой части зависит от конкретного взаимодействия, поэтому мы перейдем к рассмотрению отдельных частных случаев.§ 10] УРАВНЕНИЕ ДАЙСОНА. ВЕРШИННАЯ ЧАСТЬ
127
А. Двухчастичное взаимодействие. Оператор Hint определяется формулой (9.2). Производя вычисления и приведя результат к симметричной форме (подобно тому как это было сделано при выводе (9.3)), получим выражение для последнего члена в (10.11):
Таким образом, задача сводится к нахождению среднего от хронологизированного произведения четырех ф-операторов. Эту величину мы будем называть двухчастичной функцией Грина:
OiifAxlX2; JC3JC4) = <^($.(*і)Ф?(*2)Фт+(*з)Ф«+(*4))>- (10Л2)
Согласно формуле (6.32), величина О" может быть выражена через операторы ф в представлении взаимодействия:
Вычисление этого выражения может быть произведено в полной аналогии с вычислением гриновской функции. Оператор S (со) в числителе разлагается в ряд по степеням Hint. Применяя затем теорему Вика, можно представить каждый член этого ряда в виде суммы членов, содержащих произведения функций О(0). Каждому из таких членов может быть сопоставлена диаграмма Файнмана. В отличие от диаграмм для гриновской функции все эти диаграммы будут обладать четырьмя внешними точками. Нетрудно увидеть, что, так же. как и раньше, достаточно учитывать только связанные диаграммы, т. е. такие, в которых нет частей, не связанных ни с одним из внешних концов; в то же время следует отбросить множитель (S (оо)) в знаменателе (10.13). Остается справедливым и другое правило, а именно, все выражения зависят от порядка диаграммы только посредством множителей X". Это дает возможность оперировать с частями диаграммы и производить частичные суммирования.
'^otI2; T3T4 (ХХ2'І Х3Х4) X
X (Т (? (X2) (X4) фТз (х3) (*'))>•
(Т (Ф, (X1) (х2) фт+ (х3) ф+ (X4)) S (со)) (S (со))
(10.13)128 МЕТОДЫ кВАНтбВОЙ ТЕОРИЙ ПОЛЯ ПРИ T= 0 [гл. [t
Все связанные диаграммы для G11 делятся на две группы. К одной из них принадлежат такие диаграммы, в которых точка X1 последовательными спариваниями связывается с точкой х3, а точка X2 — с точкой х4, но, например, точки X1 и X4 оказываются изолированными друг от друга. Такие диаграммы распадаются на две отдельные части, не связанные друг с другом никакими линиями. К этой же группе мы „_„__ __ отнесем диаграммы, в ко-