Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
g2=2^. (9.6)
5 р0т
где т — масса электрона. При таком определении константа С безразмерна и при сравнении с опытными данными для металлов оказывается порядка единицы.
При нахождении гриновских функций необходимо учитывать только четные члены разложения 5(оо) по Hini. Поскольку усреднение электронных и фононных операторов происходит независимо, диаграммы для электронной функции Грина оказываются теми же, что и в случае двухчастичного взаимодействия фермионов между собой. Единственное, что надо сделать, — это заменить везде волнистые линии на пунктирные, соответствующие гриновской функции фононов, а в соответствующих выражениях произвести замену
Vixl- х2) ->g2DtVi-*?)- 112- методы квантовой теории поля при T=O [гл. II
Теперь рассмотрим гриновскую функцию фононов. Первые неисчезающие поправки в этой функции получаются во втором порядке по Hini и изображаются диаграммами на рис. 13. Соответствующие выражения равны
- gh J Sx1 d4x2D(u) (X-X1) Dl0) (х2 - х) X
X 0$ (X1 — X2) OfJ (х2 — X1), а)
+ g2i f Sx1 d4x2D(0) (X - X1) D(0) (x2 — x') X
xo??(0)0$(o). 6)
Покажем, что второй член в этой формуле должен быть положен равным нулю. Действительно, согласно определению функции D(0), в нее входят величины ер, пропорциональные div q, где q — вектор смещения. Отсюда следует, что функция D(0) (х— X1) пропорциональна
<74? (X), div q(X1))) = divri (7"(ср (X) q (X1))>.
Поскольку в выражении для диаграммы 13, б координата гх входит только в D(0)(x — X1), а эта функция имеет вид ди-
_____вергенции, интеграл по drx
-----J)— —— преобразуется в поверхност-
g; ный и обращается в нуль,
независимо от того, счи-Рис. 13. тается ли смещение на гра-
нице равным нулю или подчиняется периодическим граничным условиям. По тем же причинам обращаются в нуль вообще все диаграммы для D-функции, в которых внешние концы оказываются разъединенными.
Общие правила для вычисления поправок к гриновским функциям электронов - и фононов можно сформулировать следующим образом. Для вычисления поправки порядка 2п необходимо:
1) составить все топологически неэквивалентные связанные, (здесь это подразумевает также отсутствие диаграмм типа 13, б) диаграммы с 2п вершинами;
2) каждой сплошной линии сопоставляется функция
(х — х'), а пунктирной — функция D{0) (х — х ); § 9] правила построения диаграмм" 113
3) производятся интегрирование по координатам всех вершин и суммирование по спинам;
4) полученное выражение умножается на gn(—\)F(l)n, где F — количество замкнутых петель, образованных фер-миевскими О<0)-линиями.
В качестве примера приведем выражение для диаграммы на рис. 14:
^4 / Sxl ... Ct4X4Dm (X - X1) D(0) (х2 - х3) D(0) (х4 - х') X
X GZ, (*, - х2) G^ (х2 - xj} OVn (х4 - х3) OgVf (х3 - x1).
В. Внешнее поле. Последний пример, который мы рассмотрим, — это взаимодействие частиц с внешним полем. Гамильтониан взаимодействия, согласно § 6, имеет вид
Hint = f (г) V,? (г, t) (г) dr. (9.7)
Индексы a? у потенциала V относятся к тому случаю, когда рассматривается влияние внешнего магнитного поля на спин частиц. В этом случае V^(r, t) = ^0Ga9H (г, t), где (ig—магнитный момент частицы, а — матрицы Паули.
aj rf/ ej
Рис. 15.
Нетрудно видеть, что все диаграммы в рассматриваемом примере имеют элементарный вид, изображенный на рис. 15. Крестик на диаграмме соответствует потенциалу Va^ (х). Например, выражение для диаграммы 15, б равно
f ^1Xid4X2Gi"! (x — xi) Gir0Jh(X1 — х2) X
X 0$ (х2-х')^1ї2(хі) КїзП(х2).
Правила составления диаграмм и соответствующих выражений тривиальны. Диаграммы всех порядков имеют одинаковый коэффициент 1. Единственное, что следует отметить, — это нарушение однородности пространства и времени. 114- методы КВАНТОВОЙ теории ПОЛЯ при T=O [гл. II
В результате гриновская функция уже будет зависеть по отдельности от X и х', а не только от разности х— х'. 2. Диаграммная техника в импульсном пространстве.
Примеры. Изложенная выше техника позволяет без труда написать любой член ряда теории возмущений в интегральной форме. Однако вычисление интегралов весьма затруднительно ввиду того, что О(0) и D(0) являются разрывными функциями временного аргумента. Для вычисления поправок к гриновским функциям таким способом пришлось бы делить интегрирование по времени на множество областей, число которых росло бы катастрофически быстро с ростом порядка приближения. Выходом из этого положения является разложение всех величин в интегралы Фурье.
Начнем, прежде всего, с двухчастичного взаимодействия. А. Двухчастичное взаимодействие ферми-частиц. Рассмотрим выражение, соответствующее диаграмме на рис. 4, б
і f Gi0r> (X - X1) 0? (X1 - х2) 0$ (х2 - X') X
X V (X1 — X2) Ci4X1 Ci4X2.
Произведем разложение всех величин в интегралы Фурье по формулам
G^(X1-X2)=/
V(X1-X2) = f
где р и q — четырехмерные векторы р = (р, со), q = (q, со), а произведение р(хх— х2) равно р(гх—г2) — со (tx—12). Выражение для свободной фермиевской функции G^(p) уже было найдено в § 7 (формула (7.7) с заменой со—> —»¦со-(-ja). Если подставить эти разложения в написанную выше поправку для гриновской функции, последняя становится равной
