Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Абрикосов А.А. -> "Методы квантовой теории поля в статической физике" -> 30

Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.

Абрикосов А.А., Горьков Л.П., Ехиельвич Д.И. Методы квантовой теории поля в статической физике — М.: Физматгиз, 1962. — 446 c.
Скачать (прямая ссылка): metodikvantovoyteorii1962.djvu
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 129 >> Следующая


"ш = СО Фэ+ (T2) и (T1 - Г2) (г2) фа (г,) Clr1 dr2. (8.12)

Если ввести V (X1 — X2)= U (rx — r2) S (^1 —12), то оператор

J Hint dt будет содержать два четырехмерных интеграла.

Рассмотрим теперь члены суммы (8.9). Первый член этой суммы есть гриновская функция невзаимодействующих частиц. Следующий член имеет вид

80(1-—щЬг M^x

X <г(фв (х) ф+ (X') (X1) ф0+ (X2) ф{ (X2) фт (X1))) V (X1- х2).

Согласно формуле (8.11), матричный элемент под интегралом равен

(Ht <*) фт+ (*,))) <І+ (*2) ф. (*2)> W1 (*>) Ф?+ со)) -

- <ПФа W Фт+ (*i) )> (Фо+ (*2) фт (*,)> (Щ (*2) ф3+ со )> + +(? о Фо+ (*2))) (ф; К> фт (*,)> (7U (*2) фэ+ ^o )> -

- (4t с) Фо+ (*2) )> <ФГ+ (*0 Ф, (*2)> (7U Ы ф.г со))+

+ (7U (X) фэ+ (*') )) (X1) фт (X1)) (X2) (X2)) -

~(Т(фв(х) ф; (X'))) (<]Л (x1) фд (X2)) <ф4+ (X2) фг (X1)).

В соответствии с определением гриновской функции (7.1) это выражение может быть записано в виде

іGi0J (х, X1) (х2, х2) G^ (X1, х') —

— Ю<$(х, X1) Gfl (X,, х2) Gf^ (х2, х')+ ¦

+ /ОЙЧх, х2) O^ (X1, X1) 0?? (х2, *')—

— (X, х2) G^ (х2. X1) G$ (X1, X') —

— I0$(x. х') G^x1, x^Gls'^a, X2) +

. -H-G$(x. X') G^ (х2, Xj) G^q (Xj, Xq). (8.13) § 8] ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ ДИАГРАММНОЙ ТЕХНИКИ 99

Таким образом, рассматриваемое выражение разбивается на сумму членов, каждый из которых содержит три гринов-ские функции невзаимодействующих частиц.

Файнман указал на то, что каждому такому члену можно сопоставить определенный рисунок, который строится по следующему принципу. Изобразим точками на плоскости совокупность пространственно-временных координат и проекции спина, от которых зависят операторы (]>, входящие в наше выражение. Затем соединим сплошными линиями те точки, которые входят в качестве аргументов в одну функцию а волнистой линией — ТОЧКИ X1 и х2, входящие в функцию V (X1 — X2)- Тогда величине 8G(1) будут соответствовать шесть таких рисунков, изображенных на рис. 4 ')• Каждый из этих



JT зг' ^r -Г'

Рис. 4.

рисунков имеет две внешние координаты X и х'. По координатам внутренних точек производится интегрирование, а кроме того, берется сумма по внутренним спиновым переменным. Аналогичное соответствие между формулами и рисунками имеет место и в высших порядках теории возмущений, а также при других формах гамильтониана взаимодействия. Такие рисунки называются диаграммами Файнмана.

Каждой диаграмме Файнмана соответствует определенное аналитическое выражение. Вычисление ряда теории возмущений сводится к изображению всех возможных диаграмм Файнмана и вычислению соответствующих интегралов. Правила, по которым составляются диаграммы и соответствующие формулы, зависят от конкретного вида взаимодействия. Однако, независимо от этого, во всех случаях соблюдается одна общая закономерность, которая значительно упрощает вычисления.

') Для простоты мы не пишем на рисунке спиновых переменных. 100- методы квантовой теории поля при T=O [гл. II

Все диаграммы Файнмана для функции G могут быть •разделены на две группы — связанных и несвязанных диаграмм. Связанными диаграммами мы будем называть такие, у которых все точки связаны посредством тех или иных линий с внешними концами л; и х'. Например, на рис. 4 связанными являются диаграммы а, б, а' и б', а несвязанными— диаграммы в и г. В общем случае, когда мы имеем какой-то член ряда теории возмущений (8.9), связанными диаграммами будут те, в которых ф(х) спаривается с из НInAtP)' Ф из нIntitр) с из Hint(tPl) и т. д., причем, в конце концов, мы приходим таким образом к (х'), не пропустив ни одного из Hint (рис. 5, а). Остальные

Рис. 5.

диаграммы, в которых один или несколько операторов Hint не связаны никакими спариваниями с ф(х) и ф+(х'), называются несвязанными (рис. 5, б).

Рассмотрим поправку к гриновской функции, которой соответствует какая-то несвязанная диаграмма. Она, очевидно, состоит из двух множителей. Первый из них включает все Hint, связанные с ф (х) и (х')\ иначе говоря, он включает выражение, соответствующее связанному блоку на рис. 5, б, который содержит внешние концы. Второй множитель описывает оставшуюся часть диаграммы. Таким образом, выражение для рассматриваемой поправки равно

• • ¦ dtm (Т(ф (х) (xr) Hint O11) ... яіл((д))сх X / ... J dtm+x . . . dtn(T(HM(tm+l) . . . HlntVll))).

Здесь под (•••)(. и (...) подразумевается некоторый вполне определенный способ разбиения на пары операторов ф, согласно теореме Вика. Символ (...)е подчеркивает тот § 8] основные принципы диаграммной техники 101

факт, что в этом выражении спаривание приводит к связанной диаграмме.

Нетрудно видеть, что среди диаграмм имеются такие, которые дают в точности одинаковый вклад. Действительно, если мы изменим спаривание так, что дело сведется просто к перераспределению различных Hint между скобками (...),, и (...), то это будет соответствовать просто переобозначению переменных интегрирования и не изменит величины поправки к G. Число таких диаграмм равно, очевидно, числу разбиений п операторов Hint на группы из m и п — m one-

Рат°Р°В' Т- е- т \ (п — т)\ •
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 129 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed