Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
і(2«Г:16 / 0? (Р1) (р2) 0? (Рз) V (q) х
X to-*')+'? Ci4P1 CiiP2 Ci4Pi d4q d4xx d4x2. § 9] ПРАВИЛА ПОСТРОЕНИЯ ДИАГРАММ" 113
Проинтегрируем по Ci4Xl и CiiX2. При этом получим:
і (2*Г8 J G<°> (P1) 0<°>2 (P2) 0$ (Аз) V (9) 8 (Pl - Р2-q) X
X S (P2 +<7 — ft) CliPl (IiP2 CliPz Cliq.
Возьмем теперь фурье-компоненты от этого интеграла по х и по х'. В результате получаем:
80$ (р, р') = і f 0? (р) GfJh (Р2) 0$ (//) l/ (q) X
X S (Р — Pi — q) Ь (р2 + <7 - р') CliP2 Cli q.
Сравнивая это выражение с диаграммой 4, б, мы видим, что каждой сплошной линии теперь соответствует О(0)(р), волнистой линии — V (q), каждой вершине соответствует 8-функ-ция S(Sp) = 8 (Ip) 8 (Scu), выражающая законы сохранения энергии и импульса, причем по импульсам внутренних линий берется интеграл. Выполняя интегрирование по rf4p2
и учитывая, что Gm (р)= G^ (р)Ъа$, получаем:
80?' (р, р') = 80(1) (р) 8 (р — рО (2гс)4 8.?.
80<'> (р) = г'О(0) (р) / О(0) (p-q)V (q) G<°> (р).
Полученное выражение 80(1)(р), представляющее собой поправку к фурье-компоненте функции G (х — х') по переменной X — х', позволяет очень наглядно интерпретировать диаграммы. Мы можем представить себе частицу с импульсом р, которая в процессе своего движения спускает «квант взаимодействия» с импульсом q и сама приобретает импульс р — q. Через некоторое время частица поглощает этот квант и остается с импульсом р.
Аналогичные преобразования можно произвести и в других диаграммах. Например, поправка SGtl '(р), соответствующая диаграмме 4, а, имеет вид
= (p)v (O)J Zfram(P1) ем&°>(р).
где t—>-)-0. Множитель еш под интегралом введен потому, что в координатном представлении здесь стоит G-функция 116- МЕТОДЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ ПРИ T=O [гл. II
с совпадающими аргументами, которая, как уже отмечено, определяется как предел О<0)(—0). Коэффициент 2 появляется при взятии следа по спинам. Диаграммы 80(1) и SOtl ' в импульсном представлении изображены на рис. 16.
Рассмотрим теперь диаграмму произвольного порядка п, содержащую In вершин, 2п -)-1 сплошных линий и ti волнистых линий. Если мы подставим формулы фурье-преобра-зования для О(0) и V и проинтегрируем по 2п координатам
вершин, мы получим 2п множителей типа Ь(ї.р), выражающих законы сохранения. Один из этих законов приводит к равенству внешних им-
р р пульсов, в результате чего все члены
а/ ^y разложения G (х, х') в ряд теории
Рис. 16. возмущений будут зависеть только
от разности X — х', что является очевидным следствием однородности пространства. Остающиеся 2п — 1 8-функций приводят к тому, что из 3п — 1 интегрирований по 4-импульсам внутренних линий (как сплошных, так и волнистых) остаются только п интегрирований.
Теперь изложим общие правила, по которым можно написать выражения, отвечающие определенным диаграммам.
1) Всем линиям приписываются определенные 4-импульсы. При этом две внешние линии имеют внешний импульс, а импульсы внутренних линий должны удовлетворять законам сохранения в каждой вершине.
2) Каждой сплошной линии сопоставляется
N __^_
(P) — ш _ J (р) ib Sign P (р) •
где
5 (P) = S0(P)-V- = -^-^ 8-^+0.
3) Каждой волнистой линии сопоставляется
V(q)^U(q).
4) Проводится интегрирование по п независимым 4-импульсам.
5) Перед получившимся выражением ставится коэффициент (i)n (2u)"~4/,(—Iyp1 где F^- число замкнутых петель. § 9] ПРАВИЛА ПОСТРОЕНИЯ ДИАГРАММ" 117
По этим правилам нетрудно написать любую поправку к гриновской функции. Например, поправка на рис. 17 равна
- ^сфО(0)2 (P) (2*Г20 J A1 • • • Oi4iU G7l) и (q2) U (q3) X
X U (<7i + <72 + <7з) U (<74) G(0) (р - gi) G(0) (/>-?,- <72) X X G(0) (p — qx — q2 — Чі) G(0) (p-qx-q2-q^ ?4) X X G(0) (p - f d4PlG'0) (P1) G(0) (p, + «73) G(0) (p, + ^2 + ?3) X
X Gto^p1+«7,+ ?2 + ,73).
Рассмотрим теперь другой, симметризованный вариант диаграммной техники для двухчастичного взаимодействия.
Рис. 17.
Раньше была введена симметризованная величина Г^ T3T4 (jcIjcS*. хзхд- Величина по самому своему определению зависит только от разностей координат. Поэтому фурье-компоненты Г(0) будут содержать 8(pi+p2— Pz — Pa)-Ввиду этого нам будет удобно сразу определить фурье-ком-
¦п(О)
поненту 1" как
(2тг)4 8 (р, +P2-P3- р4) Г(0) (P1, р2; р3, P1 + р2 — P3) = = JdAxx ... d4*4r(0)(*i*2. х3х4)е-ірл-ірл+ір>х'+ір<х<.
Преобразование Фурье поправки первого порядка, соответ- 118- МЕТОДЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ ПРИ T=O [гл. ii
ствующей диаграмме на рис. 9, имеет вид
- /O^ (P) J Vav срр,- pp.) G<°> (P1).
Диаграмма в импульсном пространстве изображена на рис. 18. Общие правила построения диаграмм ничем не отличаются от предыдущего. В частности, коэффициент при диаграмме п-го порядка отличается от коэффициента в координатном представлении только множителем (2it)~4n.
SL --<>-'
fi /> *
Рис. 18. Рис. 19.
Б. Взаимодействие электронов с фононами. Общие правила расшифровки диаграммы порядка 2п для гриновской функции электрона или фонона, сводятся к следующему:
1) каждой сплошной линии сопоставляется
