Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Абрикосов А.А. -> "Методы квантовой теории поля в статической физике" -> 27

Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.

Абрикосов А.А., Горьков Л.П., Ехиельвич Д.И. Методы квантовой теории поля в статической физике — М.: Физматгиз, 1962. — 446 c.
Скачать (прямая ссылка): metodikvantovoyteorii1962.djvu
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 129 >> Следующая

(W* (t')W'(t')) = — IG (р, t — t') при t — t' С 0.

При вычислении G(p, t) по формуле (7.34) здесь существенны полюсы функции 0А(р, ш) в верхней полуплоскости, так как t < 0. При J11 І є (р) — Jj- j 1 аналогично предыдущему находим:

— Ю(р, t) ^ae-isW ,

где є (р) < |х, у < 0. Мы получаем волновой пакет, соответствующий дырке с є (р) < ]л. Следовательно, энергия и затухание дырок даются полюсами функции GA(p, о>) в верхней полуплоскости. Отметим, что знаки у для «частиц» и для «дырок» противоположны.

Те же результаты справедливы и по отношению к фононам. Из формулы (7.29) нетрудно увидеть, что в этом случае каждому полюсу функции Dr (k, ш) в нижней полуплоскости будет соответствовать расположенный симметрично относительно точки ш = 0 полюс функции Da (ш, k) в верхней полуплоскости. Таким образом, оба способа определения спектра возбуждений дадут один и тот же результат. § 7J гриновская функция

89

Помимо энергетического спектра, с помощью гриновской функции можно найти связь между химическим потенциалом и числом частиц в единице объема, энергию основного состояния и распределение частиц по импульсам (конечно, при нашем ограничении все это относится только к ферми-системам).

Из самого определения гриновской функции (7.1) следует: I(X)) =

= — і lim Oaa (X — xr) = — 2i lim G(x — x').

r — T' r = r'

/'-W+0 t'->t + 0

где Ga? = 8a3G.

Переходя к импульсному представлению для G, получаем:

у=~2іЛт+0IjWr0ip'ш)еЫ- (7-37)

Поскольку интеграл в (7.37) зависит только от [і, мы получаем, таким образом, зависимость N (р.). Выражая обратно I^(N)

и воспользовавшись формулой [j. = ^> можно найти

отсюда энергию основного состояния. Правда, на практике этот способ действий не является наиболее удобным. Мы вернемся к вопросу об энергии основного состояния в § 9.

Для нахождения импульсного распределения частиц достаточно вычислить выражение

Ni(p) = N , (р) = /фІа+ ха хф\ = (а+іа Л, 2 -j ^ P 2 "ї > \ P 2 Р2'

где Ф0 = е~'Е°1Ф% — шредингеровская волновая функция основного состояния системы. Сравнивая это выражение с (7.17) (см. также примечание на стр. 81), находим:

со

Ni(P) = N і (р) = —2i Iim I 0(р, u>)e!mt~. (7.38)

J ~J /-»+о /5С

A ^ — со

Из формулы (7.38) можно получить одно интересное свойство импульсного распределения (А. Б. Мигдал [28]). Определим граничный импульс Ферми для возбуждений р0 с помощью уравнения є (р0) = ja. Рассмотрим N (р) вблизи 90-

МЕТОДЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ ПРИ T=O [гл. II

|р| = р0. Согласно предположениям § 2, возбуждения ферми-жидкости — это «частицы» и «дырки» с импульсами вблизи р0. Затухание таких квазичастиц мало по сравнению с | є (р) — р. (. Эти сведения могут быть использованы для установления полюсов функций Ga и Gr. При \р\ < р0 функция Ga имеет полюс в верхней полуплоскости вблизи действительной оси, а при I р I > р0 этот полюс исчезает, но зато появляется полюс у Gr в нижней полуплоскости. Представим теперь интеграл (7.38) в виде двух контурных интегралов от Ga и Gr, как это было сделано с интегралом (7.34). Горизонтальные участки контуров на рис. 2 и 3 мы сдвинем в нижнюю полуплоскость на расстояние, значительно большее, чем в (р) — [х, от действительной оси. Тогда интегралы по этим участкам будут нечувствительны к малым изменениям импульса р. Что касается интегралов по вертикальным участкам контуров, то их можно объединить в интеграл Ii- iL

2 f lmOR(p, io)g. p-

Этот интеграл можно разделить на часть, взятую по области' удаленной от точки е — на расстояние, большее е (р) — |х> и интеграл по близкой области. Интеграл по далекой области мало зависит от изменений |/»|, а в интеграле по близкой

области можно подставить Gr^ м_? ^ и убедиться

в том, что он пренебрежимо мал ^— ? (р) — р}' Отсюда

следует, что вся разница между выражениями N (р) (7.38) при \р\<р0 и при \р I > р0 заключается в том, что в первом случае на рис. 3 отсутствует обход полюса, а во втором случае он появляется. Отсюда следует:

N^p0-O)-N1(P0^-Q) = а. (7.39)

2 2

Согласно (7.21), константа а обязательно положительна. Таким образом, мы приходим к выводу, что импульсное распределение частиц имеет скачок в той же точке ІРІ== P0, где и распределение возбуждений. Согласно основному предположению теории ферми-жидкости, граничный импульс Ферми р0 возбуждений связан с плотностью числа частиц § 7J гриновская функция

91

соотношением (2.1) (справедливость этого предположения будет доказана в гл. VI). Таким образом, скачок импульсного распределения взаимодействующих частиц происходит в той же точке, что и у невзаимодействующих частиц. Из того, что OCTV1 (//)<!!• находим для величины скачка:

0<а<1. (7.40)

Примером является импульсное распределение частиц в разреженном ферми-газе, найденное в § 5.

4. Гриновская функция системы во внешнем поле. Перейдем теперь к системам во внешнем поле, не зависящем от времени. В этом случае функция Грина будет зависеть от переменных t — t', г и г'. Вместо формулы (7.17) мы теперь получим:

О (г. г', t — t') = — ^ 2 Otj (Оо, 44<г')К' (?-?) «-">.
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 129 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed