Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
? \ dr = N. Основываясь на этом сходстве, можно всегда
легко найти гамильтониан в представлении вторичного квантования.
Кроме гамильтониана, существенное значение имеет оператор плотности числа частиц в данной точке. Поскольку в обычном представлении он имеет вид /г (г) = 2 ^ (г— га)¦ то
а
здесь мы получаем:
«(>•) = /1+ (га) ъ (г - Га) t(ra)dra = ф + (/¦) фв(г). (6.5)
Оператор числа частиц, соответственно, имеет вид N= f n(r)dr = f ф+ (г) (г)dr.
Предположим теперь, что мы имеем некоторую систему частиц с гамильтонианом Н. Определим, как происходит изменение состояния этой системы со временем. Для этого необходимо решить уравнение Шредингера:
^ = (6.6)
(Ф — волновая функция системы). Решение уравнения (6.6) может быть записано в символической форме *):
Ф(*) = в-"ИФЯ, (6.7)
где Фя — функция, не зависящая от времени.
Изменение со временем матричного элемента какого-либо оператора F можно найти с помощью формулы (6.7):
рпт о=<ф; W fk(о>=^zffif'-іШфнту (6-8)
') Оператор e~lHt представляет собой символическую запись ряда 1 -IHt+ ... +^j- (-ІНІГ+ ... § 6] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
67
Последнее выражение можно интерпретировать как матричный элемент по функциям Фя от оператора
F(t) = eiHtFe~iHt. (6.9)
Это означает переход к новому представлению, которое называется гайзенберговским. Рассмотренное ранее представление, в котором операторы F не зависят от времени (например, ф(г) и (г)), называется шредингеровским. Наиболее существенным свойством гайзенберговского представления является то, что волновые функции Фя не зависят от времени. Временная зависимость переносится на операторы; из (6.9) находим
J^L = HHF-FH) = i[H, F]. (6.10)
В шредингеровском представлении дело обстоит как раз наоборот. Операторы не зависят от времени (если речь не идет о переменном внешнем поле), а волновая функция зависит от времени. Для самого гамильтониана, как видно из (6.9), оба представления совпадают.
Если мы рассматриваем стационарное состояние системы, то волновая функция ФНп удовлетворяет уравнению •
НФНп = ЕпФНп. (6.11)
Из формулы (6.8) в этом случае имеем:
Fnm (0 = (Фя^Фя™) Є1 <Еп-Еш) (6.12)
Рассмотрим, например, систему невзаимодействующих частиц без спина. В качестве <рг(?) выберем функции свободных частиц ^L е1Рг(У — объем). Оператор <J> в шредингеровском представлении будет иметь вид
ф (T) = Y= 2 W"". (6.13)
р
С помощью формулы (6.4) находим, что гамильтониан в шредингеровском представлении имеет вид (3.13), т. е. tf=2«o(P)V где в0(р) — энергия свободных частиц. 68
МЕТОДЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ ПРИ T=О [гл. II
Поэтому, согласно формуле (6.9), оператор t) в гай-
зенберговском представлении оказывается равным і V^ і EI0 (P') t -iE s0 (pi nP't
Ф {г. t) = y=r 2j е P' аре Р" elPr =
р
= ^IiaPe' lPr'4iP)t> -(6A4\ р
Следует заметить, что гайзенберговские операторы ф(г, t), вообще говоря, не удовлетворяют правилам коммутации (6.2) для соответствующих шредингеровских операторов. Однако в случае, когда операторы ф берутся в один момент времени, из формул (6.9) и (6.2) следует, что правила коммутации этих операторов совпадают с правилами для шредингеровских операторов
Кроме рассмотренных двух представлений, имеется еще одно, очень важное для дальнейшего, представление промежуточного типа, называемое представлением взаимодействия. Свойства этого представления лежат в основе методов квантовой теории поля.
Выделим из гамильтониана часть Hint, соответствующую взаимодействию частиц:
H =H0 +Hint, (6.15)
и произіедем следующее преобразование шредингеровской волновой функции системы:
ф. = еш'*Ф. (6.16)
Если продифференцировать по времени функцию Ф;, то мы получим:
1 ^F= - Н0фі + eiHat <"о + Нш) ф = е^Нше-"Vciv
(6.17)
і ^L = н (t) Фг, dt "" ' (6.18) Hint(f) = e"VHtnte-W.
Функции Фг осуществляют представление взаимодействия. Любой оператор в этом представлении получается из шре-
Таким образом, § 6]
представление взаимодействия
69
дингеровского по той же формуле (6.18), что и Hint(t). Отсюда следует, что всякий оператор F{t) в этом представлении удовлетворяет уравнению
т. е. тому же уравнению, что и гайзенберговский оператор для системы невзаимодействующих частиц. Таким образом, мы приходим к выводу, что в представлении взаимодействия все операторы имеют тот же вид, что и гайзенберговские операторы для соответствующей невзаимодействующей системы, а волновая функция удовлетворяет уравнению LLJpe-дингера с гамильтонианом Hint (t). Возможность использования «свободных» операторов является большим преимуществом этого представления.
Определим теперь зависимость функции в представлении взаимодействия ФД^) от времени. При этом, поскольку операторы Hint (t) в разные моменты времени не коммутируют друг с другом, мы не можем записать решение уравнения (6.17) просто в виде
Поэтому поступим следующим образом. Пусть нам известно значение Фі в некоторый момент ^0. Перейдем от дифференциального уравнения (6.17) к интегральному, для чего проинтегрируем обе части (6.17) по времени в пределах от tn до t(t>tQ). Имеем:
