Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
vrr |Т[.(0) , V Uhnt) тп ^m і V ' Y1' (Hint)mk (Hlndk п ^m
" "+" Lk En-Em Lk Lk (En-Eb) (Е„ —Е„)~
т
(Н , V'(Htnt)mn^ ^ у' I(^)mJ2 Г.9П K^inOnn (En-Em)2 2 Lk (En-Em)2' •62
общие свойства систем из многих частиц [гл. i
Принимая во внимание, что в представлении, осуществляемом функциями 1F^, оператор а+ \ а і диагонален, получаем:
\(Нш)тй\Чп^\-п Л — VV \ P T P 27
где п(т\ — число частиц с импульсом р и проекцией спина 1J2 р T
В СОСТОЯНИИ IrOT невзаимодействующей системы, Tl 1 —B OC-
Р2
новном состоянии. Распределение невзаимодействующих частиц п і, как уже отмечалось, совпадает с распределением Р2
возбуждений при T = 0.
Подставляя сюда Hini из (5.1), получаем:
N і — п і = pI Р2
1^a' Г d„ Г d„ rdn Ь{р +Pi-P*-PJ
при И < P0, (5 23)
16*'д* Г dD С do CdD Ь(Р + Р*-Р*-Р*)
(2 n)«*»J ap^ J "Я Jap ЗГ(/,2+ 2 2 2)/2т]2-
IР, I > Pol Pil < Pol Psl < Pc u 1 iH і
при |/)j > р0.
Таким образом, оказывается, что импульсное распределение частиц отличается от распределения квазичастиц п і только
pH
во втором порядке по а. Интеграл выражения (5.23) по всем р, очевидно, равен нулю, что соответствует равенству числа частиц жидкости и числа квазичастиц. Интересно отметить, что при \рІ =р0 функция N і имеет скачок.
pI
В гл. III будет показано, что это есть общее свойство ферми-жидкостей. § 5] разреженный ферми-газ 63
Вычисление интегралов (5.23)приводит к довольно громоздким выражениям, которые мы не будем полностью здесь выписывать. Приведем только некоторые предельные значения:
AUrMimi"2-^
N і-N 1=1-4^(-^^1112.
Ро-о, J ра+о, - VJ
Л/ , = Ш* /3 М\г'Ч Po V Р>Р», і 9 U
Таким образом, при р < р0 функция Np близка к 1 причем слегка убывает при увеличении р от 0 до р0. Затем
Np скачком уменьшается до значения порядка а2^^-^" и при р^>рд убывает пропорционально а2(т)'(-^*) *
1) Эти вычисления проделаны В. А. Беляковым J23]. ГЛАВА II
МЕТОДЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ ПРИ T = О
§ 6. Представление взаимодействия
Метод вторичного квантования в той форме, в которой он изложен в предыдущей главе, непригоден для решения большого круга задач. Фактически его можно применять только в случае слабого взаимодействия между частицами. При этом либо применима теория возмущений, либо гамильтониан настолько упрощается, что его легко диагонализо-вать. Однако часто приходится сталкиваться с таким положением, когда нельзя ограничиться несколькими первыми членами ряда теории возмущений. В этих случаях необходим метод, который давал бы сравнительно простые и наглядные правила написания любого члена ряда теории возмущений.
Довольно часто в силу тех или иных физических условий из совокупности всех членов ряда теории возмущений удается выделить последовательность (как правило, бесконечную) так называемых «главных» членов, превосходящих остальные по порядку величин. Задача тем самым сводится к суммированию этой последовательности.
В общем же случае, когда все члены ряда теории возмущений оказываются одного порядка, задача теории состоит в получении различных общих соотношений (например, формулы (2.1), связывающей граничный импульс Ферми р0 и число частиц жидкости; эта формула лежит в основе теории ферми-жидкости Ландау). Для этих целей наиболее удобна развиваемая в этой главе диаграммная техника, заимствованная из квантовой теории поля ').
') См., например, [24]. представление взаимодействия
65
Изложение методов квантовой теории поля мы начнем с того, что представим аппарат вторичного квантования в несколько иной форме. Введем операторы «поля частиц»:
ф (9 = 2?, (5) а,.
^ (6Л)
і
где av af—знакомые нам по предыдущей главе операторы вторичного квантования, ср; (?) — волновая функция частицы в состоянии I. Операторы и (S) можно интерпретировать как операторы уничтожения или, соответственно, возникновения частицы в данной точке S-пространства. Из § 3 следуют соотношения коммутации для этих операторов:
ф«)ф+(5') + ф+ 0:0 Ф (X) = 4S -S'). . «кода + ф (5') ф (5) = 0, (6.2)
(S) (SO+ (SO ^+(S) = O, где верхний знак соответствует статистике Бозе, а нижний — статистике Ферми. Одночастичный оператор F^ запишется в новом представлении в виде
Fm= f (6.3)
Аналогичным образом записываются двухчастичные и более сложные операторы.
Нетрудно записать гамильтониан через операторы ф и , Например, для системы частиц со спином 1Z2 в отсутствие магнитного поля гамильтониан имеет вид
И = / u vW V^ (О + и СО If С) Ф. и] dr +
+ І / J^ {Г) {Ґ) U(2) {г' Ґ) Ь t (Г) drdr'+ ...
(6.4)
Здесь предполагается, что взаимодействие между частицами не зависит от их спина. Индексы а н р означают проекцию спина, причем подразумевается суммирование по парам оди- 66
МЕТОДЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ ПРИ T=О [гл. II
наковых индексов. Для системы бозе-частиц со спином нуль гамильтониан отличается только отсутствием индексов у операторов <|). Обобщение на более сложные случаи не представляет труда.
Внешний вид формулы (6.4) совпадает с выражением для средней энергии системы N частиц, находящихся в одинаковых СОСТОЯНИЯХ tya(/")> нормированных соотношением
