Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Решение этого уравнения мы будем писать в виде ряда
DA ITMUUUO M •
^1 = ( [HQ, F(f)l
(6.19)
ФД*) = const e-4W)de
Фі (0 = Ф, Со) -1 / "ш С) ФI (О dt'.
Фіч(0 = - і f Hint V1) ^ФДд; 70
МЕТОДЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ ПРИ T=О [гл. II
во втором приближении t
Ф?> (0 = -f Hint Сі) dt, f Hlnt (t2) Cit2(S)i (g; A> h
B n-M приближении
t tx (t) = (- I)" f Hint (I1) dt, J Hint (t2) dt2...
h U
<0
Из структуры ряда для Фг (t) следует, что весь результат можно представить в виде
®.(t) = S(t, дФДд. (6.20)
где матрица S(t, t0) определяется рядом t
S(t, tQ)=l-i f Hint (t,) dt,+ ...
to
...+(- On I Hint (Jf1) dt,... f Hiht (tn)dtn + ... (6.21)
<o to
Для ряда (6.21) характерно, что в нем операторы Hlnt, взятые в более поздние моменты времени, всегда стоят слева от операторов, взятых в более ранние моменты, поскольку всегда
t>t,>t2> ... >tn>t0.
Выражение (6.21) можно сделать более симметричным. Рассмотрим га-й член ряда
(-0й / ¦ ¦¦ f Hint 0у Hint (t2)... Hint (tn) dt, dt2... dtn
t> I1 ... > to
и переобозначим в нем произвольным образом переменные интегрирования tv ..., tn->tPi, tPl.....tPn, отчего, разумеется, это выражение не изменится. Проделав все возможные перестановки переменных t,, ..., tn, сложив все выра- § 6] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 71
жения и разделив на число перестановок (п\), мы распространим область интегрирования по каждой переменной на весь интервал от t0 до t. Существенно при этом, однако, что операторы Hint под знаком интеграла всегда должны быть расположены слева направо в порядке убывания времен. Обозначив операцию такого упорядочения символом Т, запишем выражение для «-го члена ряда в виде t t
smл)f ¦¦¦ f т [H1M... Hint(tn)) dt,... dtn.
'о (6.22)
Теперь нетрудно проверить, что выражение (6.21) может быть записано как
S it, tQ) =Texpj-і J* Hint (V) dt' J, (6.23)
в чем легко убедиться, разложив экспоненту в ряд и воспользовавшись определением операции упорядочения Т. Оператор S(t, t0) обладает очевидным свойством
S(t3. VStf1, to) = S(f2, f0) t2>t,>tQ. (6.24)
Формулы (6.16) и (6.18) устанавливают связь между шре-дингеровским представлением и представлением взаимодействия. Соотношение (6.20) дает возможность найти связь между представлением взаимодействия и гайзенберговским представлением. Предположим, что преобразование волновых функций выражается соотношением
ФД0 = <2(0Фя>
где Q — унитарный оператор. Из формулы (6.20) находим:
Qtf) = Stf. t0)Qtfu),
откуда, согласно (6.24), следует:
Qtf) = Stf, а)Р,
где а — некоторый момент времени, a P — оператор, независящий от времени. Для его определения подставим в соотношение Фг(/) = <3(^)ФЯ формулы (6.16) и (6.7), выражаю- 72-
МЕТОДЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ ПРИ T=O [гл. II
щие Фг и Фя через шредингеровскую функцию Ф. При этом получаем:
etHlt = S(ft a.) Peim. Учитывая, что 5 (а, а)=1, находим:
р = giH0d.g~ IHx^
На этом этапе удобно ввести предположение о так называемом «адиабатическом включении взаимодействия» *)• Положим, что в момент времени t = — оо взаимодействие между частицами отсутствовало, а затем было бесконечно медленно «включено». Если теперь устремить а к —оо, то Р—> 1 и, следовательно,
ФД*) = 5(0Фя. (6.25)
где
S(t) = S(t, —со). (6.26)
Пользуясь свойством (6.24), находим:
S(t2, f,) = S (t2) S'1 (/,). (6.27)
Соотношение между операторами в представлении взаимодействия и гайзенберговскими операторами на основании формулы (6.25) имеет вид
F(t) = S^(t)F(t)S(t). (6.28)
В дальнейшем нам часто будут встречаться хронологизи-рованные произведения от нескольких гайзенберговских операторов, усредненные по основному состоянию системы ф°„:
<ф? T[A (t) В (t')C(t") ... ] Ф°л). (6.29)
При этом для фермиевских операторов мы несколько обобщим определение Г-упорядочения по сравнению с данным при выводе формулы (6.23); для бозе-операторов мы сохраним старое определение. Под Г-произведением фермиевских операторов A (J1) В (t2) С (t3) ... мы будем теперь понимать
') Следует сразу же подчеркнуть, что использованное здесь «адиабатическое включение взаимодействия» есть чисто формальный прием. Он дает возможность наиболее коротким путем получить правильный результат, но вовсе не является необходимым (см., например, [25J). § 6] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 73
их произведение слева направо в порядке убывания времен, умноженное на (—1)Р, где P — число перестановок фермиевских операторов друг с другом, в результате которых из A(tx) В (t2)C (t3) ... получается хронологи-зированное произведение. Так, если F1^1), F2(t2)— фер-миевские, a B1^3), B2(t4)— бозевские операторы, то
{ F1(L)F2(L), L>L, TiRf^ F JfWaWl).
t3<tv
I B1 (t3) B2 (Z4)1 t3 > tA,
Новое определение T-упорядочения в применении к операторам Htnt(t) совпадает со старым, поскольку в Hint фер-миевские операторы всегда входят парами. Разумеется, все предписания относительно операции Г-упорядочения одинаковы для операторов гайзенберговского представления и представления взаимодействия.
