Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Абрикосов А.А. -> "Методы квантовой теории поля в статической физике" -> 17

Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.

Абрикосов А.А., Горьков Л.П., Ехиельвич Д.И. Методы квантовой теории поля в статической физике — М.: Физматгиз, 1962. — 446 c.
Скачать (прямая ссылка): metodikvantovoyteorii1962.djvu
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 129 >> Следующая


2V г 2

рф о

+ ^ («;«+,+ V-,)]- <4-6>

Последний член гамильтониана является недиагональным. Для диагонализации произведем линейное преобразование операторов ар и а+:

а+

- - Ca 4-Л а+ V

і (4-7)

. Ca+ 4- Л (X V _Ap р ~р)

Новые операторы ар и а+ удовлетворяют тем же перестановочным соотношениям, что и старые. Выразив в формуле (4.6) •52

общие свойства систем из многих частиц [гл. i

операторы ар и а+ через ар и а+, получаем:

H-

UN2 2V

_ у_L_

рф О 1

IV-JL

2 Ai-,

(uL

V 2т



NU-

V



рф о

//>* і NU \2т V

+ 2 ' у P







/)^0

)(1 + ^)+"

2 лг V / р





Для того чтобы недиагональные члены обратились в нуль, необходимо, чтобы коэффициент Ap удовлетворял соотношению

NU^

IJL

I 2т

-L-

V

:)2^+^(1+^)=0.

Это даст:

An

V

UN

(-

IL



NU

V



?+Tf-(Tf)- <«>

Знак «плюс» перед корнем необходим для того, чтобы возбужденные состояния обладали положительной энергией. Выразив в (4.8) коэффициенты Ap согласно (4.9), получаем:

H =

UN2 2V '

Ly Г (PL. 2 Zi LV 2«

рф о

T)-/(?,+Tf-(Tf} +

рф о

Полученное выражение состоит из двух слагаемых. Первое из них есть некоторая константа. Второе представляет собой диагональный оператор, который может быть записан в виде

2 прє(р),

рф о

где tip — числа заполнения, соответствующие операторам ар. Наименьшее значение энергии достигается, когда все пр равны

нулю, а поэтому 2 nPs (P) есть энергия возбуждения. Это § 4] разреженный бозе-газ

53

выражение имеет такой же вид, что и энергия системы невзаимодействующих частиц (3.13). Отсюда следует, что слабовозбужденное состояние разреженного бозе-газа может быть описано с помощью модели элементарных возбуждений с энергетическим спектром')

/ N i/7 P1 I UN \2 1 UNy

?(/» = У (^г+пг) -(—) • (4Л1)

В пределе малых импульсов это выражение приобретает вид

(4.12)

т. е. соответствует фононной части спектра бозе-жидкости. При больших импульсах энергия г(р) переходит в энергию свободной частицы

(4ЛЗ)

что тоже находится в соответствии с выводами § 2.

Первое слагаемое формулы (4.10), очевидно, представляет собой энергию основного состояния бозе-жидкости. Нетрудно видеть, что сумма по р в этом выражении расходится при

больших импульсах как ^ . Связано это с тем, что разло-

р

жение энергии по степеням U в действительности не имеет места. Наличие постоянного U приводит к бесконечности в энергии, как это видно непосредственно из формулы (4.10). В данном случае существенно, что амплитуда рассеяния а имеет конечную и притом малую величину, что делает возможным разложение энергии по этой величине.

Соотношение (4.2) между U и амплитудой рассеяния не является точным, а справедливо лишь до членов первого порядка. Ввиду того, что нас интересуют и члены высшего порядка в энергии, соотношение (4.2) должно быть исправлено. Рассматривая рассеяние двух частиц конденсата с переходом

') Отметим, что в проделанном выводе было использовано борновское приближение. Однако в действительности формула (4.11), выраженная через амплитуду рассеяния а с помощью соотношения (4.2), справедлива не только в борновском приближении, а всегда, когда выполнено условие а/І <^ 1. Это будет доказано в гл. V. То же самое относится и к формулам (4.16), (5.20) и (5.21). •54

общие свойства систем из многих частиц [гл. i

в состояние р, —р во втором приолижении теории возмущений, получаем:

РФ О

Выражая отсюда U через а и подставляя получившееся выражение в (4.10), находим для энергии основного состояния

2ка N2 , 8тМ2 /NV

Ш

т V r т2 \ V) P2Im

P

1 у I р2 , 4tmN\( Г~ / UaN/тУ \2\

2 Zj \ 2т' mV / \ V 1 \p2/2m+4KaN/mVj )'

P

При больших р выражение (4.15) сходится. Интегрируя по импульсам, получаем:

E 2тга f N \2

V т

Отметим, что разложение идет по | a ^г) J •

Из этой формулы можно найти скорость звука

Как и должно быть, это выражение совпадает с коэффициентом при р в формуле фононной части спектра (4.12).

В начале этого параграфа уже говорилось, что в бозе-газе амплитуда а должна быть положительной. Это видно и из формулы (4.17), так как в случае й< 0 скорость звука была бы мнимой (неустойчивость состояния).

Распределение возбуждений по импульсам дается обычной бозевской формулой

Lr (4Л8>

Что же касается импульсного распределения самих частиц бозе-жидкости, то его можно найти, если вычислить

Nn = а+а.

P рр § 5] разреженный ферми-газ 55

Подставляя формулы (4.7), получаем:

_ Hn + A2 (п„ + 1) Np = " рК р ' . (4.19)

1 -Azp

Конечно, это выражение относится только к р ф 0. Число частиц с нулевой энергией получается из формулы

N0=N- 2 Np.

рф о

При абсолютном нуле пр = 0, и, таким обраюм, из (4.19) находим:

8я2а2 / N \2

N -_т' Г4 20Ї

" — , . Г , , , p2 , 4ttaAr т '



2т 1 «1/

-^= 1--^^(-f. (4.21)

Af З/тс I V I

Таким образом, ясно, что в неидеальном бозе-газе даже в основном состоянии отнюдь не все частицы обладают импульсом, равным нулю.
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 129 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed