Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
2V г 2
рф о
+ ^ («;«+,+ V-,)]- <4-6>
Последний член гамильтониана является недиагональным. Для диагонализации произведем линейное преобразование операторов ар и а+:
а+
- - Ca 4-Л а+ V
і (4-7)
. Ca+ 4- Л (X V _Ap р ~р)
Новые операторы ар и а+ удовлетворяют тем же перестановочным соотношениям, что и старые. Выразив в формуле (4.6) •52
общие свойства систем из многих частиц [гл. i
операторы ар и а+ через ар и а+, получаем:
H-
UN2 2V
_ у_L_
рф О 1
IV-JL
2 Ai-,
(uL
V 2т
NU-
V
рф о
//>* і NU \2т V
+ 2 ' у P
/)^0
)(1 + ^)+"
2 лг V / р
Для того чтобы недиагональные члены обратились в нуль, необходимо, чтобы коэффициент Ap удовлетворял соотношению
NU^
IJL
I 2т
-L-
V
:)2^+^(1+^)=0.
Это даст:
An
V
UN
(-
IL
2т
NU
V
?+Tf-(Tf)- <«>
Знак «плюс» перед корнем необходим для того, чтобы возбужденные состояния обладали положительной энергией. Выразив в (4.8) коэффициенты Ap согласно (4.9), получаем:
H =
UN2 2V '
Ly Г (PL. 2 Zi LV 2«
рф о
T)-/(?,+Tf-(Tf} +
рф о
Полученное выражение состоит из двух слагаемых. Первое из них есть некоторая константа. Второе представляет собой диагональный оператор, который может быть записан в виде
2 прє(р),
рф о
где tip — числа заполнения, соответствующие операторам ар. Наименьшее значение энергии достигается, когда все пр равны
нулю, а поэтому 2 nPs (P) есть энергия возбуждения. Это § 4] разреженный бозе-газ
53
выражение имеет такой же вид, что и энергия системы невзаимодействующих частиц (3.13). Отсюда следует, что слабовозбужденное состояние разреженного бозе-газа может быть описано с помощью модели элементарных возбуждений с энергетическим спектром')
/ N i/7 P1 I UN \2 1 UNy
?(/» = У (^г+пг) -(—) • (4Л1)
В пределе малых импульсов это выражение приобретает вид
(4.12)
т. е. соответствует фононной части спектра бозе-жидкости. При больших импульсах энергия г(р) переходит в энергию свободной частицы
(4ЛЗ)
что тоже находится в соответствии с выводами § 2.
Первое слагаемое формулы (4.10), очевидно, представляет собой энергию основного состояния бозе-жидкости. Нетрудно видеть, что сумма по р в этом выражении расходится при
больших импульсах как ^ . Связано это с тем, что разло-
р
жение энергии по степеням U в действительности не имеет места. Наличие постоянного U приводит к бесконечности в энергии, как это видно непосредственно из формулы (4.10). В данном случае существенно, что амплитуда рассеяния а имеет конечную и притом малую величину, что делает возможным разложение энергии по этой величине.
Соотношение (4.2) между U и амплитудой рассеяния не является точным, а справедливо лишь до членов первого порядка. Ввиду того, что нас интересуют и члены высшего порядка в энергии, соотношение (4.2) должно быть исправлено. Рассматривая рассеяние двух частиц конденсата с переходом
') Отметим, что в проделанном выводе было использовано борновское приближение. Однако в действительности формула (4.11), выраженная через амплитуду рассеяния а с помощью соотношения (4.2), справедлива не только в борновском приближении, а всегда, когда выполнено условие а/І <^ 1. Это будет доказано в гл. V. То же самое относится и к формулам (4.16), (5.20) и (5.21). •54
общие свойства систем из многих частиц [гл. i
в состояние р, —р во втором приолижении теории возмущений, получаем:
РФ О
Выражая отсюда U через а и подставляя получившееся выражение в (4.10), находим для энергии основного состояния
2ка N2 , 8тМ2 /NV
Ш
т V r т2 \ V) P2Im
P
1 у I р2 , 4tmN\( Г~ / UaN/тУ \2\
2 Zj \ 2т' mV / \ V 1 \p2/2m+4KaN/mVj )'
P
При больших р выражение (4.15) сходится. Интегрируя по импульсам, получаем:
E 2тга f N \2
V т
Отметим, что разложение идет по | a ^г) J •
Из этой формулы можно найти скорость звука
Как и должно быть, это выражение совпадает с коэффициентом при р в формуле фононной части спектра (4.12).
В начале этого параграфа уже говорилось, что в бозе-газе амплитуда а должна быть положительной. Это видно и из формулы (4.17), так как в случае й< 0 скорость звука была бы мнимой (неустойчивость состояния).
Распределение возбуждений по импульсам дается обычной бозевской формулой
Lr (4Л8>
Что же касается импульсного распределения самих частиц бозе-жидкости, то его можно найти, если вычислить
Nn = а+а.
P рр § 5] разреженный ферми-газ 55
Подставляя формулы (4.7), получаем:
_ Hn + A2 (п„ + 1) Np = " рК р ' . (4.19)
1 -Azp
Конечно, это выражение относится только к р ф 0. Число частиц с нулевой энергией получается из формулы
N0=N- 2 Np.
рф о
При абсолютном нуле пр = 0, и, таким обраюм, из (4.19) находим:
8я2а2 / N \2
N -_т' Г4 20Ї
" — , . Г , , , p2 , 4ttaAr т '
2т 1 «1/
-^= 1--^^(-f. (4.21)
Af З/тс I V I
Таким образом, ясно, что в неидеальном бозе-газе даже в основном состоянии отнюдь не все частицы обладают импульсом, равным нулю.
