Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
f dp I f dp2 f dp3
— 2
S (Px +Pt — P — Ps) (P2 +P23-P2l-PDflm Ь(Р\+ Р — Рг — Рз) {P2 +pl-pl-pl)/2m _
(5.11)
') На первый взгляд может показаться, что эта формула неправильна, так как е есть вариационная производная E по функции распределения квазичастиц, а не по распределению частиц. Однако в формуле (5.10) имеется в виду производная не по истинному распределению частиц, а по распределению невзаимодействующих частиц, которое, как уже отмечено раньше (сноска на стр. 56), при T = 0 совпадает с распределением квазичастиц взаимодействующей системы. § 5]
разреженный ферми-газ
59
Таким образом, для вычисления энергии основного состояния и эффективной массы возбуждений надо вычислить интегралы (5.9) и (5.11). Интегрирование является довольно громоздким ввиду высокой кратности интегралов и неудобства области интегрирования.
Вместо этого можно применить более простой способ, основанный на использовании функции /. Если ввести эту функцию
= (5Л2)
то, согласно формулам (2.12), (2.19) § 2, мы можем определить отсюда эффективную массу и скорость звука малой частоты. Из скорости звука после соответствующего интегрирования можно найти энергию основного состояния.
Таким образом, задача сводится к определению величины /. Варьируя выражения (5.3) и (5.8) по а затем по nk, мы находим следующее выражение для /:
f — ^HLn
J — т Чп',
~?а2 Г С
(2^J dPi] dP*
+
IPi I < Po
ЛР+ Р\—Р'-
Qa,
Рг)
Ъ(Р + Р' — P1-P2) і
Ср2 + р'2-рї-рї)/2т^
, 1 '°(P' + Pi— Р — P2)
4 СP2 + Р\-P'2- РІ)/2т т 4 (р'2 + р*)/2т J '
(5.13)
При вычислении мы будем сразу полагать \р\ = \р'\= р0, интегрирование в (5.13) значительно проще, чем в (5.9) и (5.11). В результате находим:
2 яд
COS 1
In
1 + sin
2iza , /ч
--(і?<з')
т 4 '
+ЧШ'"11
2 sin ~ 1 — sin-|yj
У У ^
sin -J 1 + sin 2
--o— In ¦
1 — sin ,
. (5.14)
Заслуживает внимания особенность полученного выражения. При углах близких к тс, функция / для частиц •60
общие свойства систем из многих частиц [гл. i
с противоположными спинами имеет логарифмическую особенность:
Ясно, что в этом случае использованное здесь приближение, строго говоря, неприменимо. Особенность функции / при ^ = Tc является отражением особенности в амплитуде рассеяния возбуждений, сталкивающихся под углом тс (см. гл. IV). Правильное выражение в этом случае можно получить, просуммировав основные члены ряда теории возмущений, т. е. члены, в которых логарифм входит в максимальной степени (на единицу меньшей степени а). Если считать угол в точности равным тс, но зато \ = р2-\-р'2—2р2ФО, то суммирование приводит к появлению в / множителя
(действительная часть написана с логарифмической точностью). Так как согласно нашему предположению а положительно, это выражение стремится к нулю при X—>0.
Однако принципиально в случае ферми-газа возможен и случай а < 0. В противоположность бозе-газу в данном случае благодаря принципу Паули газ будет оставаться разреженным, и на первый взгляд все формулы сохраняют свою применимость. Если, однако, рассмотреть формулу (5.16), то становится ясно, что амплитуда рассеяния будет иметь полюс при каком-то малом мнимом значении X. Это связано с нестабильностью основного состояния по отношению к образованию связанных пар квазичастиц с противоположными импульсами и спинами (эффект Купера), что является основной причиной сверхпроводимости металлов (см. гл. VII). Здесь мы ограничимся случаем а > 0.
Итак, найденное нами выражение для / несправедливо при углах, близких к тс. Однако ввиду того, что особенность является логарифмической, она сказывается лишь в непосредственной близости особой точки. А так как в интересующие нас величины входят лишь интегралы от / с регулярными функциями, то логарифмическая особенность функции / не существенна.
fix)- (1-М') In^i
(5.15)
(5.16) § 5] разреженный ферми-ГАЗ 61
Подставляя формулу (5.14) в (2.12), находим значение эффективной массы
Аналогичным образом из выражения (2.19) для скорости звука получаем:
„ я,/з (N \ !ъ 1 . 0 %а N Г. . 4 /ЗЛГ^" , 01 ..
U2 = -Trl — 1--Ь2--IH--aI — I (11—2 In 2)
3'> V Vl т2 ] т2 V [ г 15 \KV) 4 '
(5.18)
Из этой формулы нетрудно получить энергию основного состояния ферми-жидкости. Для этого воспользуемся соотношением (2.16) и2 = -^r и, дважды проинтегрировав (5.18), получим:
(5.19)
Результаты (5.17) и (5.19) можно получить и непосредственно, путем интегрирования в формулах (5.9) и (5.11). Это демонстрирует справедливость основных положений теории ферми-жидкости для данной модели. Общий вывод этих положений будет дан в гл. IV.
В заключение представляет интерес, так же как и для бозе-газа, найти импульсное распределение частиц. Для этого необходимо вычислить матричный элемент
N_ і =N^ = і a ,4^, (5.20)
P. -O
где Ir—истинная волновая функция взаимодействующих частиц. Подставим сюда функцию vF, вычисленную по теории возмущений с точностью до членов второго порядка (см. [15], стр. 161 — 162):
