Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
s(p, а), п(р, ff), где ах, оу, ог — известные матрицы Паули, связанные с оператором спина квазичастицы s соотношением s = -g-ff. Оператор / является матрицей как по отношению к спиновым переменным, входящим в левую часть (2.7), так и по отношению к спиновым переменным оператора Ъп, стоящего под интегралом в правой части (2.7). В наиболее подробном виде (2.7) можно записать в форме
^ (/») = $(/») +/ U
Эта формула поясняет смысл обозначения f (р, ff; р', ff').
Определенная таким образом функция / является второй вариационной производной от энергии единицы объема по Ъп (ср. (2.7) и (2.4)), а следовательно, симметрична относительно перестановки р, а с р', ff'. Функция / — очень важная характеристика ферми-жидкости. Как мы увидим ниже (см. гл. IV), она связана с амплитудой рассеяния двух квазичастиц на нулевой угол.
Зависимость функции / от спиновых переменных может быть представлена в общей форме:
/(/>. а; р', ff')=- =P(р, р') + о^1к(р, р'). (2.8)
Если взаимодействие спинов имеет обменное происхождение'), то второй член этой формулы будет иметь ВИД (ffи') С (р,р').
В отсутствие магнитного поля энергия квазичастиц s не зависит от спина. Функция в(0) в (2.7) зависит только от р и может быть разложена в ряд по р — р0:
UP) = Bw(P)-P (O) = v (P-P0), (2.9)
') Обычно различают несколько типов взаимодействия частиц, зависящих от их спинов: обменное взаимодействие, связанное с возможностью перестановки одинаковых частиц; спин-орбитальное взаимодействие, происходящее от релятивистского взаимодействия движущегося магнитного момента с электрическими полями; непосредственное магнитное взаимодействие моментов. Обменное взаимодействие обычно значительно превышает все остальные виды взаимодействий. Характерным отличием обменного взаимодействия является инвариантность по отношению к поворотам полного момента системы частиц в пространстве. Таким свойством обладает скалярное произведение (««'). •36
общие свойства систем из многих частиц [гл. i
где р-(О)-—химический потенциал при T = 0, a v — константа. Величину v, представляющую собой скорость возбуждений на ферми-границе, можно записать в виде
где т* — эффективная масса. Как было показано Л. Д. Ландау [10], между т* и / существует определенная связь.
Напишем соотношение, выражающее тот простой факт, что импульс единицы объема жидкости совпадает с потоком массы. Импульс единицы объема ферми-жидкости совпадает, очевидно, с импульсом квазичастиц, т. е. равен
С другой стороны, в силу предположения о равенстве числа частиц ферми-жидкости и числа квазичастиц поток частиц жидкости совпадает с потоком квазичастиц и равен
где V — скорость квазичастиц. Плотность потока массы получается из этого выражения просто умножением его на массу атома жидкости т. Замечая теперь, что і> по опре-dt
делению равно , запишем условие равенства импульса и потока массы в виде
Проварьируем (2.11) по п, учтя, что происходящее при этом изменение энергии є связано с Ьп соотношением (2.7), которое в случае отсутствия магнитного поля (т. е. при п и S, не зависящих от спина) можно записать в виде
(2.10)
(2.11)
Se = ISpoSpa, f f(p, а, р', а') Ьп'
/ dp' (2*)» •
Отсюда следует:
(2*)6 •
dp' § 2] ферми-жидкость
37
go втором интеграле проинтегрируем по р по частям и переобозначим переменные palp's'
Г?_Ъп*1>= С aLbn-%.-J т (2 л)3 J dp (2-у
-1 SpoSpa, f fbnf (р, р'.а')^-^f. В силу произвольности Ьп отсюда сразу получается:
? = W-
При Г= 0 энергия в вблизи поверхности Ферми имеет
вид (2.9), a — P0). Заметив, что в силу
изотропности жидкости / зависит только от угла х между р и р', находим:
І = І-SWsP-sP.' //<Х>совХЛЇ. (2.12)
где /(х) — значение / при \р\ = |/»'| = р0. Интегрирование в (2.12) производится по направлениям вектора р'. Это соотношение связывает массу атома жидкости с эффективной массой квазичастиц. Оно сохраняет, с точностью до малых поправок, свою силу и при достаточно низких температурах.
Теплоемкость ферми-жидкости выражается через т* по обычной формуле для ферми-газа. Действительно, согласно (2.3), имеем для теплоемкости на единицу объема
Нетрудно показать, что замена є на в подынтегральном выражении дает относительную ошибку порядка (Tjp(O))3. Таким образом, в линейном по T приближении мы получаем обычную газовую формулу
Cv=^nfpJ. (2.14) •38
общие свойства систем из многих частиц [гл. i
Той же формулой выражается и энтропия при низких температурах *).
3. Звук. Так же как и в бозе-жидкости, распространение звука в ферми-жидкости имеет ряд специфических особенностей (хотя и других, чем в бозе-жидкости). Если рассматривать звук заданной частоты, то при не слишком низких температурах его распространение происходит по законам обычной гидродинамики. Затухание звука будет при этом пропорционально времени между столкновениями возбуждений х. При понижении температуры вероятность столкновений будет уменьшаться пропорционально квадрату размытия ферми-распределения, а следовательно, время столкновений будет увеличиваться по закону T 2. При температурах, когда х становится порядка 1/со, звук вообще перестает распространяться.
