Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Однако оказывается, что при дальнейшем понижении температуры опять появляется возможность распространения звука. При этом скорость его будет, вообще говоря, иной, и он уже не будет представлять собой просто волну сжатия и разрежения. Это явление было предсказано Л. Д. Ландау [11] и названо им «нулевым звуком». Ввиду того, что в определении природы звука существенно лишь соотношение между шит, эти два звука могут быть охарактеризованы как низкочастотный звук (шх<^1) и высокочастотный звук (сот 1).
Скорость звука при не слишком низких температурах, когда соблюдается условие сих<^1, определяется обычным образом через сжимаемость. При этом оказывается, что она существенным образом зависит от функции / [10].
Сжимаемость удобно выразить через производную химического потенциала по числу частиц -^jj- ¦ Пользуясь тем, что химический потенциал зависит лишь от A//V, находим: <?ц V2 дР 1 дР
dN ~ N*dV~~N A(N\ v'
') Формулой (2.13) можно воспользоваться для определения т.* из экспериментальных данных о теплоемкости. Импульс р0 согласно (2.1) определяется из плотности жидкости. Для жидкого Не3, таким образом, находим (см. [12, 13]):
р0 = 0,76 • IO8 см~\ т* = 2/яНез. § 2] ферми-жидкость 39
(Я — давление). Отсюда сразу следует связь между им2:
ui=oP=_JP__l_ (2 16
U д9 , ImN \ т dN
Производная вычисляется следующим образом. Ввиду
того, что (іяйє (р0), изменение [і происходит как вследствие изменения р0, так и вследствие изменения вида функции е(р):
= + (2.17)
(Мы считаем, что магнитное поле отсутствует.) Согласно (2.1), изменения ЬЫ и Ьр0 связаны соотношением
M = -^Pl bpuV.
Так как в интеграле формулы (2.17) существенны лишь изменения Ьп вблизи ферми-границы, то можно произвести интегрирование по абсолютной величине импульса. Это дает:
f =^vJf dQ-
Lr Sp5Sp0,//^+^. (2.18)
Отсюда
ф
Используя выражение (2.12) для эффективной массы и соотношение (2.1), находим:
о Po и2
+ 6ST("ё")8 sP-sP.'//(X)(I-COsx)^. (2.19)
Зт2
Таким образом, в области частот мх<^1 скорость звука определяется (2.19). Она отличается от скорости звука при
Po
отсутствии взаимодействия и9
Зт2 •
Для изучения распространения звука в области частот Wx 1 мы воспользуемся обычным кинетическим уравнением
дп ' дп дг дп дв •40 общие свойства систем из многих частиц [гл. i
где 1(п)—интеграл столкновений. При малом отклонении от равновесия функцию распределения можно представить в виде
п = nF -f- Ьп,
где nF — равновесная функция, а Ьп — малая добавка, являющаяся периодической функцией времени:
Ьп — el{kr~mtK Интеграл столкновений имеет порядок величины
T / \
/(я)- — .
и им можно пренебречь по сравнению с членом -jjj: • При линеаризации уравнения (2.20) следует иметь в виду, что s является функционалом от п, а поэтому -^Jr не равно нулю. Согласно (2.7),
de _е Г , дЬп' dp'
~дг — J * ~~дг~ (2т.у '
С учетом сделанного замечания мы получим:
(kv — ш)Ьп — kvSpefJ/Sn' (2.21)
Из вида этого уравнения следует, что Ьп пропорционально
» дпР
- яа— о (в — [J,). Обозначая Sre = -^-V, получаем:
(kv — cu)v + fcz»~ Spo, J/V-^- = O, (2.22)
где
F(X) = J(I)j^- (2-23)
Если выбрать k в качестве полярной оси и ввести обозна-
и
чения и = у — скорость распространения волны, s= —, то уравнение (2.22) приобретет вид
(s — cos 6) V (6, Cf, 5) = cos 91 Sp0, J F (X) V (6', Cf', ?') .
(2.24) § 2] ферми-жидкость
41
Из уравнения (2.24) еидно основное отличие обычного звука и звука, распространяющегося в ферми-жидкости при сит 1. В первом случае функция распределения остается изотропной в системе отсчета, где жидкость как целое покоится. Это значит, что меняется радиус ферми-сферы и кроме того, ее центр колеблется относительно точки р = 0. Во втором случае функция распределения меняется более сложным образом, так, что ферми-поверхность не остается сферической. Изменение ферми-поверхности определяется функцией V.
Рассмотрим, прежде всего, решение уравнения (2.24), не зависящее от спина. При этом от всей функции F (у) остается только часть Ф (у), связанная с функцией ср в (2.8). Возьмем сначала наиболее простой случай, а именно, ф = Ф0 = const. Из уравнения (2.24) получаем:
const • COS 6 ¦ (kr-mt) (2.25)
S — COS 0 4 '
Как мы сейчас увидим, s должно быть больше единицы. Это значит, что поверхность Ферми оказывается вытянутой в направлении движения.
Подставляя (2.25) в (2.24) с F = Ф0, находим уравнение для s. После интегрирования, получаем:
Отсюда видно, что если величина s является действительной (это соответствует незатухающим волнам), то она должна быть больше единицы, т. е.
и> v. (2.27)
Из уравнения (2.24) видно, что это условие остается справедливым для любой функции Ф. Далее, ввиду того, что левая часть уравнения (2.26) всегда положительна, ясно, что условием существования нулевого звука является положительность Ф0.
Если функция Ф0 велика, то s тоже велико. Из уравнения (2.26) получаем ПРИ Ф0->°о- Наоборот, при
Ф0—>0 s->l, т. е. и—Это — случай почти идеального ферми-газа, •42
