Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
§ 5. Разреженный ферми-газ
Теперь перейдем к ферми-газу. Мы определим энергию основного состояния, эффективную массу возбуждений и /-функциюс точностью до членов порядка (a?)2, где а — амплитуда s-рассеяния.
Оператор энергии возбуждения в данном случае не может быть записан в виде (4.1), как для бозе-частиц. Действительно, если в (4.1) под i, k, I, т подразумевать не только импульсы, но и проекции спина, то вследствие антикоммутативности фермиевских операторов сумма обращается в нуль. Связано это с тем, что в гамильтониане (4.1) не учтена специфика рассеяния ферми-частиц. Согласно квантовой меха-
') Энергия основного состояния была вычислена в работах Янга и Хуанга [19] и Янга и Ли [20], эффективная масса возбуждений была найдена А. А. Абрикосовым и И. М. Халатниковым [21], а также В. М. Галицким [22]. Функция / была вычислена в работе [21]. •56
общие свойства систем из многих частиц [гл. i
нике (см. [11], § 114), для одинаковых частиц со спином Y2 s-рассеяние может иметь место только в том случае, когда спины антипараллельны. При этом амплитуда удваивается по сравнению со случаем, когда частицы различны. Учитывая это обстоятельство, мы можем записать энергию взаимодействия в виде
liLnt = -^r Yi а+ ia+ іа Ь (5Л)
v Pa, — Pv —q Рг,
Рі+Рг=Рз+Рі
или, что то же самое,
U V1
Hlnt = nr? /і а+ а+„а „а . (5,1')
int 2V Pb, л pfi рЗ р,a' ^ >
P1+P1=PSJ Pi
Так же как и раньше, величина U в первом приближении связана с амплитудой s-рассеяния соотношением
U = ^-. (5.2)
m 4 '
Применим теорию возмущений по отношению к Hint. Добавка первого порядка к энергии основного состояния равна диагональному матричному элементу от Hint:
?(1) =T" S (5-3)
где индексы i, k соответствуют заданным импульсам и проекциям спина, Hi — числа заполнения при T=O1)- равные 1 при р < joq и 0 при р >,jO0 (р0 = (37tW/1/)Vs), а множитель Qik в (5.3) учитывает то обстоятельство, что спины частиц в состояниях ink противоположно направлены. Этот множитель удобно брать в виде
= (5-4)
2
(5.2) и (5.4) в (5.3), находим:
і
~m V
где -lJi — оператор спина частицы в состоянии /. Подставив
jS- (5-5)
') Здесь Пі обозначают числа заполнения для невзаимодействующих частиц. Нетрудно понять, что при T = 0 они совпадают с числами заполнения квазичастиц и отличаются от Nt—чисел заполнения для системы взаимодействующих частиц. § 5] разреженный ферми-газ
57
Для нахождения поправки второго порядка воспользуемся выражением теории возмущений
?(2) = у Шшйш^. (5.6)
l^n
тфп
Подставив в эту формулу выражение (5.1), получаем следующую сумму:
2 UiX nt"kV— Щ) (\—nm)Qik Qim
v2^tm (РЇ+РІ-РЇ-РІ)/*«
(5.7')
Ввиду того, что нашей целью является получение разложения энергии по степеням а, мы должны, как и в § 4, учесть, что соотношение (5.2) между U и амплитудой рассеяния не является точным, а справедливо лишь с точностью до членов первого порядка по U. При учете членов второго порядка вместо соотношения (5.2) получается:
II V__— С5 2'ї
V И (РЇ+РІ-РЇ-РІ)/^ т- ^ >
Если отсюда выразить U через а и подставить результат в формулу (5.3), то в выражении ?(1) возникнут члены, пропорциональные а2, которые, естественно, следует отнести к поправке второго порядка. С учетом этого обстоятельства мы получаем следующее значение второго приближения к энергии:
,(2) _ 32а2 тс2
E
т2 V2
Iklm
UiTIk (1 — т) (1 — пт) Qik Qim
[P2i+РІ-pj-P2m)/2т
KiikQik Qin
(РІ+РІ-РЇ-РІ)/^ Y (5,7)
В противоположность выражению (5.7) это выражение не расходится при больших р. Следовательно, так же как и в бозе-газе, перенормировка U приводит к устранению расходимости в энергии.
Отметим, что соотношение (5.2') на первый взгляд кажется противоречивым, так как левая сторона зависит от угла между P1 и pk, а правая не зависит. Это могло бы свидетельствовать о незаконности принятого нами вида оператора энергии взаимодействия. Однако в действительности это •58
общие свойства систем из многих частиц [гл. i
обстоятельство не должно вызывать никаких опасений, так как в соотношении (5,2') не учтены члены, связанные с высшими моментами, вносящие, как уже отмечено, малый вклад в энергию.
В выражении (5.7) член с четырьмя яг, возникающий от первого слагаемого, равен нулю ввиду того, что знаменатель антисимметричен относительно замены i, т, в то время как числитель симметричен и все области суммирования одинаковы. Остающиеся два члена с произведениями трех H1 равны друг другу. Таким образом, окончательно получаем:
р(2) _ _ 64аЧ2 у _ЩЩп&іь__ fr
" ~ я9уш kw+A-fi-w**'
Переходя от суммирования к интегрированию, это выражение можно записать в виде Е<?> __ 64A2 V — т2 (2~)9
/ dPi f dPi f dpz J dp4 X
I Px I < PjI Pi I < Po Iftl <Po
V +P2— Рз— Pi) /с Q\
{p\ +Pl-Pl-P^2m ¦ ^
Энергия возбуждений, согласно § 2, определяется соотношением !)
Є (P)
і
Вариация выражений (5.'3) и (5.8) по U1 дает:
P2 , 2KUN
2 отт mV
, 32тг2д2 ^r от2 (2тс)9
I Pi 1 < Pa I Pi I < P-
