Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Абрикосов А.А. -> "Методы квантовой теории поля в статической физике" -> 15

Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.

Абрикосов А.А., Горьков Л.П., Ехиельвич Д.И. Методы квантовой теории поля в статической физике — М.: Физматгиз, 1962. — 446 c.
Скачать (прямая ссылка): metodikvantovoyteorii1962.djvu
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 129 >> Следующая


Допустим, что мы имеем систему из N невзаимодействующих частиц, которые могут находиться в каких-то состояниях с волновыми функциями Cp1(^)1 Ф2(0> образующими полную и ортонормированную систему. Здесь ? обозначает любые переменные, характеризующие состояние частицы, обычно это — координаты и проекция спина. Вместо полной волновой функции для описания системы, очевидно, могут быть заданы числа частиц, находящихся в состоянии Cp1, ср2, ... Это означает переход к новому представлению, называемому представлением вторичного квантования. Роль переменных в нем играют числа N1, N2, . ¦. Начнем со случая частиц, подчиняющихся статистике Бозе. Полная волновая функция системы бозе-частиц, как известно, симметрична относительно перестановки переменных, соответствующих различным частицам. Нетрудно проверить, что волновая функция, отвечающая

') Мы считаем полезным привести здесь краткое изложение метода вторичного квантования (см., например [15]) ввиду того, что этот метод является основой развиваемого в дальнейшем аппарата. § 3] вторичное квантование 45

числам заполнения N1, N2, ..., имеет вид

ФЛГ.ЛГ,. . . = (^1'?1-")7' S Tpl (Ь) <P* (?) • • • (3.1)

р

здесь Pi — номера состояний, а сумма берется по всем возможным перестановкам различных чисел pt. Множитель перед

суммой введен для нормировки ^J* |Ф I2 JJ (Ici = I^ . Будем рассматривать ®tv,tv2 • • • как функцию переменных N1.

Пусть Fm есть некоторый симметричный по всем частицам оператор вида

J7'4 = !!/™ (3-2)

а

где fa — оператор, действующий только на функции от Sa. Нетрудно видеть, что такой оператор, действуя на функцию

Флуу2.....переводит ее либо в ту же самую функцию, либо

в другую, соответствующую изменению состояния одной из частиц. Ввиду этого матричные элементы Fm по функциям (3.1) имеют вид: диагональные

недиагональные

N1 Nk-1 Nk

где

^1V-I (3.3)

/? = /ср* (0/4(0^.

В смысле действия на числа Ni оператор Fm можно изобразить, если ввести операторы at, которые уменьшают на единицу число частиц в /-м состоянии и обладают матричными элементами

W "1N11 =V~Ni- (3.4)

Эрмитовски сопряженные операторы а+, очевидно, имеют матричные элементы: •46 общие свойства систем из многих частиц [гл. i

т. е. увеличивают число частиц на единицу. Нетрудно проверить, что оператор /7*1' может быть записан в виде

Fm = ^fiUak. (3.6)

Действительно, матричные элементы этого оператора совпадают с формулами (3.3). Это и есть выражение в представлении вторичного квантования.

Согласно формулам (3.4) и (3.5), произведения операторов af и Cii представляют собой диагональные операторы

Hfal = Nt,

UlUf = Nl+!. (3J)

Из (3.4), (3.5) и (3.7) следуют перестановочные соотношения операторов at:

M=K^l=O- '

Аналогичным образом может быть изображен симметризо-ванный оператор

F{2) = 2 /Д. (3.9)

а, ь

где /аь действует на функции от Sa и Sfc- В представлении вторичного квантования оператор F^ имеет вид

F^ = 2 f> lImatatafim. (3.10)

ihlm

где

/2> = J ср! (S1) 4 (S2) /(\ (S1) Cpm (S2) d\x 0?.

Это же относится и к более сложным операторам.

Рассмотрим гамильтониан системы взаимодействующих частиц, находящихся во внешнем поле,

а,ь а,ь,с

(3.11) вторичное квантование

47

где #а) = — "iw + ^^e)- Согласно предыдущему, в представлении вторичного квантования он имеет вид

H = 2 Hftafau + 2 t/(2> Zatataiam + ... (3.12)

Iklm

Если в качестве <рг выбрать собственные функции гамильтониана На\ то первый член (3.12) становится равным

я(1) =T 2 Siatai = 2 *tNr (3-13)

В случае статистики Ферми полная волновая функция системы должна быть антисимметрична по всем переменным. Это приводит к тому, что числа заполнения в случае невзаимодействующих частиц могут принимать' лишь значение 0 и 1, и волновая функция имеет вид

Флг^... =^=2(-CPpi(S1)CPa(S2) ... ср^(^), (3.14) ' р

причем все числа pv р2.....Pn — разные. Символ (—1)р

показывает, что нечетные перестановки входят в сумму (3.14) со знаком «минус». Для определенности будем брать со знаком «плюс» тот член суммы, в котором

Pi < Рг < P3 < • • • < Pn- (3-15)

Матричные элементы оператора F^ типа (3.2) в данном случае имеют вид: диагональные

^ = (3.1 6Ї

і

недиагональные

^ 1A=± ^

где берется знак «плюс» или «минус» в зависимости от четности или нечетности общего числа частиц в состояниях, находящихся между 1-м и ?-м состояниями. Введем операторы а{ с матричными элементами

ы^кА=*-1)1-1"'- <зл7> •48

общие свойства систем из многих частиц [гл. i

С помощью этих операторов оператор F^ можно записать в виде (3.6).

Произведения операторов а( и af равны

,Xfal = Nl.

+ 1 д т (3.18)

a.af=\— N..

Таким образом,

{alaf}=aiaf-\-afai = l. Все остальные антикоммутаторы равны нулю. Следовательно,

11 (3 19)

M = KeA=O- J

Более сложные операторы, и в частности гамильтониан, могут быть записаны через операторы ai% af так же, как и в случае бозе-частиц.

§ 4. Разреженный бозе-газ

Простым примером квантовой жидкости является слабо неидеальный газ, т. е. газ, в котором роль взаимодействия частиц относительно мала. Как мы увидим, для этого нужно, чтобы амплитуда рассеяния частиц была мала по сравнению со средней длиной волны X = 1 /р. которая для вырожденного газа по порядку величины совпадает со средним расстоянием между частицами.
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 129 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed