Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
общие свойства систем из многих частиц [гл. i
Нетрудно видеть, что заключение относительно стремления S к 1 при Ф—>0 не зависит от вида Ф. Действительно, из (2.24) следует, что при Ф —>• 0 S->1, a v отлично от нуля лишь вблизи малых 6. Согласно (2.19), в слабо неидеальном ферми-
Р0 VU
газе и2 =-, т. е. «и-гг«7з, Таким образом, ско-
Zm2 у^З Y 3
рость нулевого звука будет превышать обычную скорость
звука в V3 раз. Надо отметить, что в пределе почти идеального ферми-газа т очень увеличивается, в результате чего расширяется диапазон частот, соответствующий нулевому звуку, а обычный звук, наоборот, существует только в области очень низких частот.
В общем случае произвольной функции Ф(х) уравнение (2.24) уже не решается таким простым способом. Если разложить V(0, ср) и Ф(х) в ряды по сферическим гармоникам, то уравнения для амплитуд, соответствующих сферическим функциям с разными азимутальными числами т (т. е. множителями е'"*?), разделяются. При этом число т не превышает максимального номера I в разложении функции Ф {у) по полиномам Лежандра Ф (у) = 2 (c°sx)- Таким образом, мы приходим к выводу, что в общем случае может возникнуть несколько «нулевых звуков», для которых изменения функции распределения неизотропны в плоскости, перпендикулярной к направлению распространения k. Как и в простейшем случае, возможность появления таких колебаний определяется видом функции Ф. Например, если Ф = Ф0 Фх cos х- то условием появления колебаний С является 4>! > 6.
Обратим внимание на то, что в таких волнах не происходит сжатия и разрежения жидкости.
В случае, когда функция / зависит от спинов частиц, в жидкости могут распространяться особые волны, которые можно назвать спиновыми. Действительно, представим себе, например, что функция F (у) имеет вид (обменное взаимодействие спинов)
F (X) = ® (X) + ^ (X) (»»')¦ (2.28)
В таком случае, кроме решений, не зависящих от спина, уравнению (2.24) удовлетворяет функция v, имеющая вид
v = (2.29) § 2]
ферми-жидкость
43
где V — неизвестный вектор. Для функции V получаем уравнение
Уравнение для компонент вектора v отличается от уравнения для V, не зависящего от спина, только заменой Ф на Z. Поэтому все дальнейшие рассуждения справедливы и для спиновых волн. Можно показать [10], что нулевой член разложения Z по сферическим гармоникам определяет выражение для магнитной восприимчивости ферми-жидкости. Для жидкого He3 он оказывается отрицательным, что, по всей вероятности, свидетельствует о невозможности распространения спиновых волн в этой жидкости.
Несколько особый случай представляют электроны в металлах. Очевидно, в металле не могут распространяться колебания, сопровождающиеся изменением только одной электронной плотности при неизменной кристаллической решетке. Такие колебания привели бы к появлению неском-пенсированного электрического заряда, а поэтому возбуждение таких колебаний в действительности требует очень большой энергии. По всей вероятности, это означает, что функция / в случае кулоновских сил содержит бесконечную константу, не зависящую от угла (см. также § 22). Согласно (2.26), отсюда следует s = oo. Однако это рассуждение относится только к колебаниям плотности; в электронной жидкости могут, при определенных условиях, распространяться высшие «звуки» с v.— eim't (где т Ф 0) и спиновые волны, не связанные с изменениями плотности.
Возможность распространения звуковых волн при 7"=0 означает, что в спектре возбуждений жидкости имеются бозевские фононные ветви с линейной зависимостью энергии от импульса Si = utp. Однако поправки в термодинамических величинах, происходящие от фононов, содержат более высокие степени T (теплоемкость — T3), не учитываемые в рассматриваемом приближении.
В дальнейшем (гл. IV) будет показано, как основные положения изложенной теории могут быть получены из микроскопического рассмотрения системы ферми-частиц с произвольными короткодействующими силами взаимодействия.
Теория Ландау в изложенном виде относится прежде всего к свойствам жидкого He3 при низких температурах.
(2.30) 44 общие свойства систем из многих частиц [гл. 1
Наличие кулоновского взаимодействия между частицами приводит к ряду особенностей. Некоторые из них будут продемонстрированы на примере простой модели в § 22. Еще более существенным образом отличаются от обычной ферми-жидкости сверхтекучие (сверхпроводящие) ферми-си-стемы. Свойства сверхпроводников будут рассмотрены в гл. VII. Наконец, следует отметить ферромагнитные ферми-системы, также отличающиеся от рассмотренной модели. Свойства таких ферми-жидкостей были исследованы в работе А. А. Абрикосова и И. Е. Дзялошинского [14], к которой мы отсылаем читателя.
§ 3. Вторичное квантование
Изложенная выше теория бозе- и ферми-жидкостей носила в известном смысле феноменологический характер. Она основывалась на определенных предположениях о спектре температурных возбуждений. В дальнейшем мы будем заниматься микроскопическим обоснованием этой теории. В настоящем параграфе будет изложен вспомогательный математический аппарат, известный под названием метода вторичного квантования
