Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
общие свойства систем из многих частиц [гл. i
Свойства энергетического спектра ферми-жидкости можно сделать более наглядными с помощью модели, основанной на аналогии с ферми-газом. Представим себе, что основному состоянию жидкости соответствует совокупность квазичастиц, заполняющих ферми-сферу с граничным импульсом р0. Соотношение (2.1) можно интерпретировать как равенство числа квазичастиц числу частиц жидкости. Возбуждения в такой модели полностью соответствуют концепции «частиц» и «дырок». В частности, равенство числа «частиц» числу «дырок» выражается как сохранение числа квазичастиц в этой модели. Если ввести функцию распределения квазичастиц п(р), то ее изменения будут ограничены условием
Описанная газовая модель удобна для дальнейшего изучения свойств ферми-жидкости. Однако необходимо помнить, что само понятие квазичастиц имеет смысл только в окрестности поверхности ферми-сферы. Отсюда следует, что все свойства газовой модели, для которых существенную роль играют квазичастицы, далекие от поверхности, не соответствуют реальной ферми-жидкости.
2. Энергия квазичастиц. Кроме сделанных выше предположений о характере элементарных возбуждений, теория Jl. Д. Ландау базируется еще на одном допущении, которое касается взаимодействия квазичастиц. Предполагается, что это взаимодействие может быть описано с помощью самосогласованного поля, действующего на квазичастицу со стороны окружающих квазичастиц.
При этом энергия системы уже не будет равна сумме энергий отдельных квазичастиц, а будет функционалом от их функции распределения. Энергию отдельной квазичастицы естественно определить как вариационную производную полной энергии по функции распределения
(множитель 2 происходит от суммирования по проекциям спина).
(2.2)
(2.3) § 2]
ферми-жидкость
33
Действительно, из этой формулы ВИДНО, ЧТО S есть не что иное, как изменение энергии системы при добавлении одной квазичастицы с импульсом р
В формулах (2.2) и (2.3) предполагается, что распределение квазичастиц однородно по пространству. Фактически это ограничение сводится к тому, что пространственная неоднородность может иметь место только на расстояниях, заметно превышающих длину волны квазичастиц. Поскольку мы рассматриваем только возбуждения в окрестности ферми-границы, т. е. с импульсами, близкими к р0, то из формулы (2.1) следует, что соответствующая длина волны порядка межатомных расстояний. Таким образом, требование пространственной однородности практически не вносит никаких ограничений.
При наличии магнитного поля, а также в случае ферромагнитной системы функцию распределения следует считать оператором, действующим на спиновые индексы (матрицей плотности), — паВместе с пар оператором является и энергия квазичастицы вя|3. В случае, когда отсутствует магнитное поле и система не является ферромагнитной, операторы и sag пропорциональны единичной матрице. Поэтому в общем случае формулу (2.3) следует записать в виде
Написанное выражение удобно сокращенно писать в виде
если понимать под s и п соответствующие матрицы; знак Sp1 означает, как обычно, сумму диагональных элементов произведения матриц є и Ьп.
Определение энергии квазичастиц по формуле (2.4) приводит к тому, что их равновесная функция распределения действительно является функцией Ферми. Для доказательства
') Напоминаем, что п (р) есть импульсное распределение квази-
a, ?
(2.4)
частиц, объема.
число квазичастиц в единице •34
общие свойства систем из многих частиц [гл. i
этого наиболее удобно воспользоваться известным выражением для энтропии1)
Y = -Sp,/[я In я-Kl -я)1п(1 (2.5)
Эта формула имеет чисто комбинаторное происхождение, и ее применимость к ферми-жидкости определяется тем, что классификация уровней квазичастиц по предположению соответствует классификации уровней частиц в идеальном газе.
Из условия максимальности энтропии при соблюдении постоянства числа частиц и энергии,
8Л/ = 0, S E = 0,
можно путем варьирования по 8/г найти функцию распределения
n(s) = nP(e) = -^----(2.6)
* Г +1
Энергия є здесь является функционалом от п, так что в действительности формула (2.6) является очень сложным неявным определением n(s).
Будучи функционалом от п, є зависит и от температуры. Эту зависимость можно представить в следующей форме. Если обозначить через в(0)(/?) равновесную энергию квазичастиц при T= 0, то при малом отклонении от равновесия или при небольших температурах она будет выражаться формулой
є (р, а) = є«» (р, ff) -I- 8s (p, ff) =
= e«» (p, ff) + Spj, f f (p, ff; p', ff') In (p', er') JjgL.. (2.7)
Здесь bn = n — nF(T=0), а / — оператор, зависящий от импульсов и операторов спина двух квазичастиц. В формуле (2.7) применены обозначения, указывающие на матричный характер входящих в него величин. Как мы уже говорили, е и п являются матрицами по спиновым переменным. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, мы записали их в виде
') Как обычно, под Sp3In п мы понимаем сумму логарифмов диагональных элементов пы. § 2] ферми-жидкость 35
