Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
В этих условиях благодаря малости импульса сталкивающихся частиц в первых приближениях достаточно учитывать только s-рассеяние. Если обозначить амплитуду s-рассеяния
через а, то амплитуда /7-рассеяния будет порядка a^J1)-
Таким образом, если, например, в полной энергии s-рассея-ние дает члены, начиная с порядка а/Х, то р-рассеяние дает члены по порядку не ниже (a?)3. Отсюда следует, что с точностью до таких членов рассеяние можно считать изотропным.
') Если величина г0 характеризует радиус действия сил, то, согласно квантовой механике (см. [15]), при X г0 амплитуды
tr \2'
рассеяния с различными моментами I будут порядка • § 4] разреженный бозе-газ
49
С той же точностью можно пренебречь тройными соударениями, причем можно показать, что для ферми-газа вклад от тройных соударений оказывается еще меньше —(а/Х)51). Мы будем предполагать, что взаимодействие между частицами является отталкивательным, т. е. амплитуда рассеяния имеет знак «плюс». В случае бозе-газа это связано с тем, что даже при сколь угодно слабом притяжении бозе-газ при низких температурах никак не может остаться разреженным. В ферми-газе притяжение между частицами приводит к сверхтекучести. Этот случай мы здесь рассматривать не будем.
В этом параграфе будут вычислены энергия основного состояния и энергетический спектр разреженного бозе-газа (Г= О)2). В следующем параграфе будет рассмотрен разреженный ферми-газ. Для простоты будем считать, что частицы бозе-газа имеют спин, равный нулю. Энергию взаимодействия в этом случае запишем в виде
Vini = -W S fl/№VV <4Л)
Ol + Рг= Pi Pi
Вынесение U за знак суммы соответствует тому, что взаимодействие между любыми парами частиц одинаково, причем амплитуда рассеяния не зависит от угла (s-рассеяние). Величина U в первом приближении связана с амплитудой рассеяния соотношением
Это равенство нетрудно получить из следующего соображения. Согласно определению амплитуды s-рассеяния (см. [15], стр. 460, 482), она связана с эффективным сечением рассеяния
') Последнее утверждение следует из того, что волновая функция трех сталкивающихся ферми-частиц должна быть антисимметричной. Для этого необходимо, чтобы третья частица обладала нечетным орбитальным моментом по отношению к той из первых двух, которая имеет одинаковую с ней проекцию спина. В результате появляется, по крайней мере, один лишний множитель (а/К)2.
2) Энергетический спектр разреженного бозе-газа был впервые найден Н. Н. Боголюбовым [16], энергия основного состояния была определена в работе Янга и Хуанга [17] и К. Бракнера и Савады [18]. В данном параграфе мы следуем в основном работам [16, 18]. •50
общие свойства систем из многих частиц [гл. i
двух одинаковых частиц соотношением (в системе центра инерции)
dv = (2afdQ.
С другой стороны, величину de можно определить с помощью гамильтониана (4.1). В борновском приближении получаем (см. [15], стр. 466):
откуда и следует формула (4.2).
Как показал Н. Н. Боголюбов [16], в том случае, когда речь идет об основном или слабовозбужденных состояниях разреженного бозе-газа, оператор энергии взаимодействия (4.1) может быть существенно упрощен, в результате чего удается произвести диагонализацию гамильтониана и получить энергетический спектр. Идея упрощения сводится к следующему. В основном состоянии частицы идеального бозе-газа находятся на самом нижнем уровне с нулевой энергией или, как говорят, в конденсате. В разреженном газе ввиду слабости взаимодействия основное состояние будет мало отличаться от состояния идеального газа, т. е. число частиц, находящихся в конденсате, будет, все еще значительно превышать число частиц на других уровнях: N — N0 <^ N0. Это же относится и к слабовозбужденным состояниям. Так как матричные элементы от бозевских операторов равны Y^Ni, то ясно, что мы можем учитывать лишь взаимодействие частиц конденсата между собой и возбужденных частиц с частицами конденсата, пренебрегая взаимодействием надконденсатных частиц между собой. Это означает, что из всей суммы в (4.1) достаточно сохранить лишь следующие члены:
и -JL
nInt 2 V
Ча0а0а0+ Уі (2ара0ара0 +
рф о
+ 2а-р 0Ota-PaO+ aP aIpaOaO+ aO aO aPa-р)
(4.3)
Ввиду того, что N0 очень большое число, мы имеем право считать операторы а+ и aQ просто числами и заменить § 4] разреженный бозе-газ 51
их на V N0. Действительно, коммутаторы этих операторов друг с другом или с любыми другими операторами а(, а+
дают единицы или нули, т. е. во всяком случае малы по сравнению с матричными элементами операторов aQ и а + . Таким образом, получаем:
и -JL
nInt— 2V
РФ о
+ ^VoS («+а+,-+ара_р)
рф о
• (4.4)
Полное число частиц в системе может быть записано в виде
(aP %+«v-л- <4-5>
рфо
Это дает возможность выразить в формуле (4.4) все числа N0 через N. Ограничиваясь в Hint членами, содержащими не менее первой степени N1 и добавляя оператор кинетической энергии, получаем следующий гамильтониан:
H =
UN* . 1 V Г/ P1 і UN , . , . ,
- 2 М\Ш + —)(аїар+а±ра-р) +
