Методы квантовой теории поля в статической физике - Абрикосов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
pO P2 ~ , Л
энергия дырок равна —^ = ?--ІіїГ v(p° ~Рп-
В теории Л. Д. Ландау предполагается, что слабовозбужденное состояние ферми-жидкости обладает большим сходством со слабовозбужденным состоянием ферми-газа. Оно может быть описано с помощью совокупности элементарных возбуждений СО СПИНОМ 72 и импульсами в окрестности р0. Существенным для теории Ландау является предположение о том, что величина р0 связана с плотностью числа частиц жидкости той же формулой (2.1), что и в случае идеального газа (доказательство этого утверждения будет дано в гл. IV). Так же как и в газе, возбуждения в жидкости бывают двух типов — «частицы» с импульсом, большим р0, и «дырки» с импульсом, меньшим р0, которые могут появляться и исчезать только парами. Отсюда следует, что количество «частиц» обязательно должно равняться числу «дырок». •30 общие свойства систем из многих частиц [гл. i
Несмотря на большое сходство между возбуждениями в ферми-жидкости и в идеальном ферми-газе, между ними существуют и важные различия, которые происходят от того, что возбуждения в жидкости взаимодействуют между собой. Наиболее ярким проявлением этого взаимодействия является существование сверхтекучих (или сверхпроводящих, если речь идет об электронах в металле) ферми-жидкостей. Нетрудно видеть, что рассмотренный выше спектр возбуждений ферми-газа не приводит к сверхтекучести. Действительно, для возбуждения ферми-газа, т. е. для образования «частицы» с р > р0 и «дырки» с р < р0, достаточно сколь угодно малой энергии. В то же время суммарный импульс этой пары может достигать значения 2р0. Ввиду этого
( — ) = 0 и, согласно формуле (1.18), отсюда следует
' P ' ШІП
нулевая критическая скорость, иначе говоря, отсутствие сверхтекучести. Появление сверхтекучести связано с тем, что определенный тип взаимодействия квазичастиц приводит к радикальной перестройке спектра. В частности, оказывается, что возбуждение такой ферми-жидкости требует затраты энергии, которая не может быть сделана меньше некоторой определенной величины. В таких случаях принято говорить, что в спектре возбуждений имеется щель.
Мы не будем пока касаться сверхтекучих ферми-жидкостей (им будет посвящена гл. VII), а перейдем к рассмотрению свойств возбуждений нормальных ферми-систем.
Взаимодействие между возбуждениями приводит к тому, что само представление об элементарных возбуждениях имеет смысл только вблизи граничного импульса р0. Как уже было отмечено выше, об элементарных возбуждениях можно говорить лишь в том случае, если их затухание мало по сравнению с энергией. Величина затухания определяется либо процессами распада одного возбуждения на несколько других, либо столкновениями возбуждений друг с другом. Если энергия возбуждения велика по сравнению с температурой жидкости, то главную роль играют процессы распада, и величина затухания пропорциональна вероятности этих процессов. Учитывая законы сохранения энергии и импульса, а также условия равенства числа «частиц» и числа «дырок», нетрудно увидеть, что вероятность распада § 2] ферми-жидкость
31
пропорциональна (р — P0)21)- С другой стороны, энергия возбуждения пропорциональна р — р0. Отсюда ясно, что затухание будет относительно малым только для возбуждений с импульсами в окрестности р0.
Если речь идет о равновесной ферми-жидкости при конечных температурах, то средняя энергия «частиц» и «дырок» будет порядка Т. Ввиду того, что возбуждения подчиняются статистике Ферми, число их также будет пропорционально Т. Нетрудно увидеть, что для таких возбуждений вероятности распада и рассеяния будут одного порядка, т. е. обе будут пропорциональны T2 2). Отсюда следует, что описание ферми-жидкости с помощью элементарных возбуждений применимо только при достаточно низких температурах.
') Для оценки вероятности удобно воспользоваться аналогией с ферми-газом. Рассмотрим такой процесс: частица с импульсом Pi iPt > Po) взаимодействует с одной из частиц внутри ферми-сферы с импульсом P2 (р2 < Po)- В результате получаются две частицы с импульсами р3 и р 4 = р, 4- р2 —р3, причем ръ, р4 > р0. Таким образом, частица с импульсом pi «распалась» на частицы с импульсами р3 и Pi и дырку с импульсом р2. Полная вероятность такого процесса пропорциональна
Нетрудно видеть, что при pi—Ро<^.Ро допустимые области изменения модулей векторов Pi и P3 таковы:
Угол между Pi и р2 может быть любым. При этом угол между P3 и pi + Рг определяется из условия сохранения энергии, и интеграл по этому углу уничтожает 8-функцию. Остающийся интеграл по dp2dp3 берется вблизи р2 ~P3 Po и дает множитель (р{—р0)2.
2) Для почти идеального ферми-газа эти процессы представляют собой, по сути дела, одно и то же явление, и соответствующая вероятность пропорциональна
Формально можно считать, что при Ip2I > Po речь идет о рассеянии, а при I р21 < Po — о распаде. При S1—^ ~ T интеграл в обоих случаях пропорционален T2.
Р2<Р0, Рз>Ро. Pi = I Pl +Р2— Ръ I >Ро-
Po < Ръ < Р\ +Pi — Pa . 2р0 —Pi < Pi < Po ¦
f 5 (е, + E2 — ?3 — E4) п (е2) (1 — п (е3)) (1 — п (E4)) dp2 dp3. •32
