Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Абдильдин М.М. -> "Механика теории гравитации Эйнштейна" -> 19

Механика теории гравитации Эйнштейна - Абдильдин М.М.

Абдильдин М.М. Механика теории гравитации Эйнштейна — М.: Наука, 1988. — 201 c.
Скачать (прямая ссылка): mehteorgraven1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 32 >> Следующая


to» 0? (O0 - угловой момент шара. Тогда интеграл (19.11) примет вид

. йме»

Учитывая тождество (18.10), запишем

Cwe)

0 (19.17)

J 09 Следовательно, метрика первого приближения Фока (1.32) для вращающегося шара примет одну из следующих форм:

+ CU1J*, ¦ Ujdxt+ Ui<Ц )<U , (19,18)

в сферической системе координат /66, с.20/ -

- о )(ДгЧЛе%г*»«'е )+^ Мг,'б Jy Jt (19.19)

О с С

в векторной записи -

,иЦсМи

-(H^) а?' (.od?) dt, (19.20)

где UhU определяются формулами (19,6). Если теперь так же, как в 3 3, воспользоваться соотношением

1 ь.

L--HlC^p , (19.21)

то мы получим в точности (19.7),

В заключение заметим, что наша функция (19.2) отличается от аналогичной функции работ Рябушко, Абдильдина, Курмакаева и Брумберга учетом членов, квадратичных по

И S0 9 а также членов, зависящих от внутренней структуры. Ради точности следует сказать, что в работах Рябушко обычно учитывается член, квадратичный по $ 0?

IlO однако коэффициент у этого члена отличается (см. 8 18) от коэффициента соответствующего члена (19.2). Таким образом, (19.2) обобщает и уточняет функции Лагранжа предшествующих работ, использованные при рассмртрении задачи двух вращающихся тел. После такого обсуждения функции Лагранжа (19.2), которая является исходной в этой главе, вернемся к нашей непосредственной теме -задаче двух тел.

g 20. Уравнения движения

Запишем уравнения движения рассматриваемой нами задачи в представлении векторов M и А , что удобно для применения асимптотических методов нелинейной механики, поскольку налицо разделение переменных на быстрые и медленные. Последнее обстоятельство как раз и является характерной особенностью тех задач, для анализа которых применяются асимптотические методы исследования /51/.

Итак, следуя методике, использованной в б 2, 3 и 5, составим

fi«t«tPl , (20.1)

f»t|abt?ih-mr?urt4n. (20.2) +?iU5m.S . <20-3>

Гамильтониан

і її im

ОЛШ.УІ-ї). (20.4)

2ym 7mec*

Производные

S = M =I-r>u + J_pM2!t>lY|!_ *

г Sp K Wr % »\e!

+2ik«t5f) 3 - ] <ao.s>

,vu ^t-u.g

где введено обозначение

S*= S + T^0Se . (2CV7)

Подставляя (20.5) и (20.6) в (20Д) и (20.2), получаем интересующие нас уравнения движения:

1.12 , (20.8)



У9Ш +

Vtvc4

2* гC Tn ^yVtIo гскт. гамі.

«CSM)[5M] - ^{(S'SJKMl -|<$«?>&«>

«t?M] + (.S*?)ts.M] * es.* >1 +

§ 21. Усреднение уравнений д&ижения

Точное интегрирование (20.8) и (20.9) затруднительно. Поэтому к ним применим хорошо разработанные методы приближенного решения дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр. Особенно эффективными являются асимптотические методы нелинейной механики, которые уже использовались нами в 8 2, 3 и 5.

Дифференциальные уравнения первого приближения асимптотического метода получаются осреднением правых частей уравнений (20.8) и (20.9) для медленных переменных по быстрым переменным, к тому же при осреднении подставляются кеплеровы (невозмущенные) значения переменных.

113 Переходим к составлению уравнений первого приближения, ^іесь полезными являются формулы кеплерова движения /16/2

г sP^* всо*ч> )1 , Ъ-? Ссх>*ч> J7) f

= (21.1)

* (со*ч> + е) і'} УГГ=2ягтаї> ,

где Jl f ф - полярные орбитальные координаты; К , 1 , орты орбитальной декартовой системы координат, причем V направлена в сторону перигелия. Теперь нетрудно видеть, что правые части уравнений движения (20.8) и (20.9);по существу, зависят только от одной переменной Ч* , которая в свою очередь является функцией времени t. Поскольку мы, следуя методике,примененной в § 2,3, собираемся усреднить правые части (20.8) и (20.9) по времени, то полезно заметить, что для любого члена правых частей (20.8) и (20.9) справедливо равенство

T 211 27Г

-ті^ =?-J«*»"

=Sii J hMV . (21.2)

Таким образом, усреднение по і сводится к усреднению по V с весовой функцией

XVaS . В процессе усреднения приходится также пользоваться формулой (3.21)

2jr СІФ 23Г _\

(21.3)





В качестве примера рассмотрим среднее от некоторых членов правых частей (20.8) и (20.9).

о

114 = Lw(SV)V] *? (21.4)

Таким образом, мы должны найти среднее 23J ^

2- . АЧ> о «(V'+ $<*')- S2Cco^ ¦ е) іОснвсоб^" *' (21-5)

где S1 , S^ ~ проекции собственного момента пробного тела S на направления {.' , J7f Далее, мы должны вычислить интегралы

25Г 23Г IOT

Гмп*Ч» clHJ Гмпч>(со*ч>+е)

Jtf+ЄсоачО* 1 J Ц+есаъ^1 'JlUeco*^1 " (21-б)

о о о

Рассмотрим первый из них. С помощью формулы Aln1V= + (i+ЄсМЧ»* (21,7)

приводим его к сумме интегралов вида (21.3);

У ai^wdv _ (, і \2С au> +

0 . °

1 P Ач» _ 13L _ 7

e*JH+ecw>V) Є1

Согласно (21.3),

2P dv = 20г

2 Jl

Г dV ___23Г_ їО+ес«*»)1 О-С2)]^

Подставляя эти результаты в (21.8), имеем

115

(21.8)

(21.9) (21ДО) а*

f _ 2зг / 4 __ Л

(21.11)

О

Теперь вычислим второй интеграл в (21.6).' 2л

ГмпУСсооу^) j4>_0 (21Д2)

J (.А+ есолч»)1

о

р сипу нечетности подынтегральной функции. Рассмотрим третий из интегралов (21.6):

Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 32 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed