Механика теории гравитации Эйнштейна - Абдильдин М.М.
Скачать (прямая ссылка):
, то из (13.22) находим
» - с» \\г m«Ь' ' TffTfT "г I «"Л.+
"»»"«^эБгйгтг^} +
,Xr-Ii у rV/Jlgi-Nn^) Эа 1_ +
(13.24)
Потому выражение д/ґя сипы (13,1) будет иметь вид
г..-SpST*"
01 ft а
(13.2П)
68 Первый интеграл является ньютоновым выражением для силы и вычислен в работе /2/. Он равен
JJ эх* Sai '
где
Ca* в) * J
есть ньютонова потенциальная энергия системы тел, С требуемой точностью второй интеграл имеет вид
ГоЭС (dll'- m /эу?и, С\
a
Третий интеграл
a
Пи 11 ,«ЭуЧ і <' /, ,і«> 9ІГ'\ \
C1Vu ЗХі 4 '
ll<« , , (33-29)
где за U можно взять выражение (12,1?). Теперь
сложим (13.28) с (13.29) и приведем эту сумму к виду производной по a; .
Если в (13.29) можно положить X^ = сц до диффер&**~ цирования, то в (13.28) этого, вообще говоря, делать нельзя. Дело в том, что здесь некоторые из членов в Uc?) сами зависят от a; , а именно
UtlI ї\ jnrvu_ Hw * . (13 ЗО)
U U) = IcTir га,ъаг 15-Ц
где многоточием обозначены члены, не зависящие от OL ^ . Вследствие этого обстоятельства мы остановимся на выражении (13.28) несколько подробнее. Действительно, приведение (13.28) к виду производной СЦследует начать уже с преобразования самого потенциала U^ofr к виду
С = с. Ґ (I W1K - *»lAf> - 1,) ^ +
у ' /• ; п^ ^ л к- б;
V ljQ Ф
в котором введено обозначение
т.е. мы имеем дело с главным членом ньютонова потенциала (12.18). Далее, подставим (13.31) в (13.28) и выполним соответствующие выкладки. Тогда
Гленах)* =-1- JQna-X1A(1 WI f+t U
jBxi у За, с1 t \a-t№ в к + Luu-v'/,і * ^ *» у
V"К""I It гI
(13.31)
(13.32)
70 За, K^\t + 1 ) 3^ ^I1 -
д__\ Xr' nw) і эт__5_ +
"aaja-tlj 2c*
+ Ь Js^TeIaTr (13.33)
Это выражение окончательно приводился к виду производной по а* , если воспользоваться следующей формулой, справедливой для подчеркнутых в (13.33) членов:
^Wa r' I ItJts J__\__SHw r 'nU) Ъ1
TmeUm3ai Jrfi —i3Kt—
/I IcVtTx Э 1 \ Xv-' HwH^tf э* t
* ^'Эа Эа. ia-ІІ/ ^c4V ЭаЛэакшД*\<Ш /
* (13.34)
71 Теперь можно составить сумму выражений (13.28) и (13.29) й представить ее в виде производной по сц:
(W«) * \ ъ1 J * і1
«We« янJ ct •2 л»їлг'
Sai с4 V 8^a Ici-Il і 2 jKi Эа^аеКТТГ ® * r'4(>> fr'm\2, э ^w,-t
V Эа.эае^ТМТ; ^aiU1 ^ImA+
Эак а а» \r TS^fT / асцТ?1^'-Э ( п<«> ъг і • um. ?
- Ui Xl ївЖЛ-да. аз- 35»
72 Остается написать правую часть равенства (13.35) теперь уже в виде производной от симметричного относительно "а" и б" выражения. Этого можно достичь, учитывая следующее:
э_[щ. <(1М*+Ь) < ^ w'Xm, ]_ да-X^r Я-Ъ А IS-Ci J-
I ' ^
(13.36)
<а)пС<0. чЛСЬ-І*
73 а* і
Э* < \ JLy'n«.«)_Ъг /у' am, Y
* Эа^а» Іа-tl' Асг Y J vet ЗакЭа, \ а \оГ-"С\ J +
-t^ruw + ^ jki эм5г vvtft^ j j "
4? IS-Il t 2 X Kt ЪакЪа,\а-Х\П Wlk^laJat IS-Tl' « *« За^а^ТІа-И ; J Эсц
74 где L1 , L2 , и vV - новые функции. На самом де-
ле, соотношение (13.35) представится через симметричные функции L1 , L2 , и следующим образом:
JlS1 ' (13'40)
а et 1
Переходим к рассмотрению в выражении для силы (13.25) тех интегралов, которые включают функцию 1л/ :
а а ?
а 1
Это выражение можно вычислить с помощью (12.31). Тогда имеем
-FbAT^-b^^^CVa.)).
a a
-J-r'yf'R эМ^-li
,AvJ Ъ ^V-' D • ^tItt-Tl , 3 M г' й WtIyn
75 і ' п(,) "1 з'іа-tl 9 Г 1 v-' n(e)p •
- V \ wA« +Ші Ц+
^ ' , nC<0 I C«) 4 / п<>1> «ОпОО І / nt*)
• (13.42)
Используя соотношения /4/
Г = ¦«so? , (13.43)
•<чО С«>п<.*> са)Г\Са> С*>П<а>
JiKE = ^i JiKt 4eWjic Jijt + Wjt Jticj , (13.44)
преобразуем (13.42) к виду
І Гпу ^wot* (cly?»_?u ,ъи^А (13 45)
Btti+ аві Boi • (13-45)
«і •
в котором
(а**) •
, им,,
Ca* в)
L45 - ~ lM ^Jrf + гпХе + X +
8 с»
Cm» в)
76 . O 4<«OnuD\ n W cl) HliwHw
+mCl1% D
0aj3at3a-9 a.
(13.48)
Вычислим последний интеграл в (13.25). Произведя соответствующие выкладки, имеем
_i.rpv + (13.49)
где
ЗХі к Sai ^ai
V --A Т" \»Vn VVl ^V
toft) 1U ЬІ
(13.50)
I - 2 rі ZW'«- 1 (13.51:
о».*«)
(ft* О
Itl'
• ri4*' х<«> о Hm0 <Г _
+ Jjst ^1k + me?KJ.st toiK ig^ 15^-(13.82)
Таким образом, если собрать все интегралы вместе, то выражение для силы (13.25) приобретет следующий конечный вид
F _-®-(L л) + I ) +
bai- ^ai гїі ЭаЛ 1 h s}
+ СIL4"+ U - L11 У J^aV ?- L*7). (.13.53)
77 § 14. Релятивистская функция Лагранжа системы тел произвольйой формы с учетом их внутренней структуры и вращения в приближении m (д*/с?h^vdt)
Обратимся к выражениям (13.53) и (12.37) для силы и количества движения и сравним их между собой. Вначале введем обозначения
Са4в>
Со.*« *
Следует отметить, что эти величины входят со знаком минус в выражения (13.36), (13.37) и (13.38) для L1 , lj и L2. Теперь можно показать, что справедливо равенство
L ^ L, + L5 * L а + L ц - L6-LV frU^Kt+V^r',(14.4)
ГДЄу у n^f) et) «о frMa-ll
Ac* j^ujH ЭсьЭа.ЭсцЭа«
C^JwIt iKvJ^ '(14.5)
I)
Доказательство этого равенства мы здесь проводить не будем в силу громоздкости соответствующих вычислений.
