Механика теории гравитации Эйнштейна - Абдильдин М.М.
Скачать (прямая ссылка):
Переходим к вычислению той части количества движения, которая зависит от взаимодействия. Прежде всего оценим порядок величины этой части. Нетрудно видеть, что все три члена в (12.4) имеют один и тог же порядок, а именно
(P^)830luju a ОЫ^т) . (12д6)
При вычислении интегралов (12.4) мы сохраним помимо главных членов также и члены порядка Kk*/3D* по отношению к главным.
Для вычисления интегралов с требуемой точностью в выражении ньютонового потенциала
UB,-^*^^«')' (12.17)
кроме главного надо сохранить еще один член. Тогда
WTi *I .(12.18)
59 В выражении
-Vijw1^Ri (12-19)
пля вектор-потенциала следует сохранить кроме главного еще три члена. Вычисляя (12.19), находим
U^t, = Jtoji _ -Ur -V
• \Ч'і\ t y ^ j^axlt
2 J V «et Э*КЭХС ЖТГ
+ JiKt э^е IifTV (12 20)
Наконец, функция
W<3> = г X (12.21)
1 в
с требуемой точностью равна
^ibi сохранили здесь помимо главного еще два члена, чтобы обеспечить надлежащую точность в выражении для производной от Wca) по времени.
Подставляя в первый из интегралов (12.4) разложение
I Л0*
U (?) в ряд Тейлора вблизи точки Xk = O.*:
60 \ ЭХ к /л
*11 «.«о,
э U_ X» /Г
(12.23) будем иметь
? Jpvi Uoh ccfx^= Jm.diuci)-»-
а
, M г, ta> / Э'Ц1»' Ч + 2 60^ J^k1 ¦ (12.24)
Сюда нужно подставить выражение для ньютонова потенциала внешних масс иэ (12.18), Тогда получится
JfpviUS) Cdx)*= ҐІМ1- 2ч + jJ 1 і Ia- M г
. T-' -Z <.«•> п э ^
, ' * , ,-,<.»> п1в)ч- з* *
, ? Ca) __
I уУ»»»^ V "THT^ la- M * f
(12.25) 61 Аналогично вычисляется второй интеграл в (12.4). Мы имеем ^
, (12.26)
а
Ла)
и после подстановки выражения (12.20) для U^
а t \а-Ь\ 1 '. (I)4U) э 4_
+ Jsk ^ -
^jrmaWii JiVCi эа^эае Ж^Г) ' (12'27)
Наконец, последний интеграл в (12.4) равен Дифференцируя (12.22) по времени, получаем
<Н Z 6 • « эх< ^ V iK эу4э*<
< , r,<<>n 9*)?-?! _ JLy' Пс1>
(12.29)
62 Гп <ч і )
Величина J Jk. имеет, согласно работе /4/, значение
V = ^sj Osk + COsic Usi . (12.ЗО)
Дифференцируя (12.29) по координате, получаем
iv' ntC)i ЪА\Ч-Ь_ 4 .
^ЭХ-ЭУ^Э*« liV*jKtj
' г J »V (12.31)
ht следовательно,
Ц I Act) S3Itt-Tl і / . П1<) n"0ч і „
} V
^ K^SSi (12'32)
Согласно (12.4), сумма выражений (12.25), (12.27) и (12.32), деленная На C2 , дает величину (Pai ^b30Hm * Введем две функции
К, - I х [ тЛщв * CmJt^ mt D^^r.l *
/ IobjMiJ1IiL . Л і ^) (12.33)
4 Г^Ті 4 * За^ЭCtlt Ь
К^ ^eї{т + 2 ^tTa)^ - < U -
03 ^.!,«{т.ід'гчз;;^)-
і-(5?'-S-V?X \\ »'Ч-tl .(12.34)
Тогда нетрудно проверить, что
( P . ) s 1&- + (12.35)
Имея в виду оценки
60-?-, O^mRi, (bm^R, (12.36)
нетрудно заключить, что функции ^\ и вычислены с
точностью до членов — Для полного коли-
чества движения имеем
Р^^цС^К^). (12.37)
§ 13. Вычисление силы
Переходим к вычислению силы (11.32):
* a * й.
(13.1)
При этом для потенциалов V и Uk достаточна точность формул (12.20) и (12,22). Переходим к определению U*. Как видно из (11.7), потенциал U отличается от нью-тонового U с учетом двух поправок: поправки на запаздывание и поправки, происходящей от замены J> на б . Таким образом,
D1.' . (13'2)
где
64 a W определяется согласно (11.17). Теперь из (11.4) находим разность
Первый член зависит от внутренней структуры тела( ) и от его скорости, а второй - также и от внешнего потенциала. Имея это в виду, приступим к вычислению
Напомним сначала, что если использовать (12.6) и (12.7), то
jXlpv^tt-j>tu + = Ia* + Ia , (I3-B)
а
где
где
а также
1а» I I?)«*? , (13,6)
(Ь,
и для момента первого порядка
ІСІР Aj>n , (13.7)
t^i - Jtfy,Qft^pXxi-IiiKdx/ (13.8)
a '
JCfpv'+pR-j) Ua+ Зр) Cxt-a,) CXu-Olt) edx)*» ?1
¦T .1 nt»> _ . »)*«!W <
= if Cl1 Jva + 5 at Wji J:ut + Uwt , (13.9)
где
1ак«в . (ЇЗДО)
a
Имея в виду формулы (11.40), (11.42), (11.56) и (11.57), запишем
, (їзді)
^ai * * . (13.12)
65 і 1ля вычисления І^ке введем в рассмотрение следующие интегралы:
TaWe Jp?^tti-аОСХк-аоСAt)\ (13.13)
a
^pCXi-MCXK-cOcdxf . (13.14)
a
При этом (13.13) можно представить и следующим образом:
1 aw ~ г ^ns ** jHlilC ,
где введено обозначение
Ct
Интеграл (13.14) вычисляется по формуле
фех^кх^КсЬ* = ^ _ *Tat< й. *
в которой
W = -1 JpwK-^cxi-QjXx.-^^caxA
а Є
Поэтому вместо (ЇЗДО) можно написать
law* = + ^T-TaU .
Учитывая формулы (13.5), (13.7) и (13.9), приближенно
получаем
Cfdi о.»;*
?0) Гі ^ci* ^ \ 1 \
JiKt- 1a«t)y эх^Хе-рГш • (13-20)
Далее,
ci С IS-Sl
66
(13.15)
(13.16)
(13.17)
(13.18)
(13.19) 2сг v Є У kt эхкзхе с*J"3
QaltSal VKDailI Jij Jii
_ JL_ (V'»**« Wtt) 31 A .
2c« VV UMfizj^MltWe \4-*\ • 1
Теперь
) їгтг + !*} +
* c* fc V^a- iK jU \g-tt * W\W X Wr'ym« 1_.+JLyfiiclft^
67 В выражение (13.1) входит не весь потенциал U , а
та его часть, которая происходит от внешних масс. Она рав-на
U ^ Ci^w в (13.23)
При этом Uw и Wcc0 известны из 8 12; что же касается
