Механика теории гравитации Эйнштейна - Абдильдин М.М.
Скачать (прямая ссылка):
ф^-Ф.'-^-У-/, (17.1)
в которой
і Г U tfr ¦ -8 ^
/ ¦ ; tfla-fl n
87 2d
іПк^'злч.-^)
а і L
A, 0 Aw • (ПА)
K' = JL z C^^mX^i^L-ea.tV
5 2с а і
+i-muT'
Т'2 • tiJiaAvi и vActr*
сі)
^ (5В ^ + [Hm-^+mAiV
• K 4 - Пс0 о n« fl ЭМа-М
*Qw,K(«і.^Лї За^а^оа„ .
(17.5)
88 + 3Ki(?T «.7 ) +matfTKi * +
/-.ті** uiWvi я* 4 + m^Vl«)]^^ . (17.9»
ш<--?_ . m.m» / nl*> ^
^-Zc1 kH 1 ZMpfrC -
г1 і і, n("
89 Ъг A -I Хг г- г-*eV-uIlV І
4 г, «О к n(ft) 3і
+ т m.m<]«< + А m-m A*
+ it^it-ai + ic-aiVsi^. <171'
1C2 « 8 »»» ^rn jKn 3cgai IJ.IJ --3Лі Jmn Sa1^aiBMaJ • (17-11}
Интересно сопоставить наши результаты с результатами Врумберга. Для этого достаточно сравнить функции Лагранжа (14.8) м (17Д). Во-первых, оказывается, что К и U' совпадают между собой, ибо член Yw в \С несуществен при рассмотрении поступательного Движения (он зависит только от угловых скоростей!) и может быть onvnieH. Во- вторых,
Далее, 90 Ф«<Р', Ф,= 0?;, %=<Рг , Ф3=Ф4' , Mj= Ч>' , (17.13)
если учесть, что между некоторыми выражениями нашей работы и работы Брумберга существуют соотношения
(17.14)
i.-sT^r' , IiJ-7JT+IT .
"fan.
И наконец,
U3=-A' , (17.15)
если вспомнить известные условия /4/
о;:' = . <"¦">
Таким образом,
L= С . (17Д7)
Это означает: уравнения поступательного движения, найденные в двух рассматриваемых нами работах, полностью совпадают.
§ 18. Расхождения в релятивистских функциях Лагранжа поступательного движения для системы двух сферических вращающихся тел
В следующей главе мы рассмотрим задачу двух тел в механике ТГЭ с учетом Их внутренней структуры и вращения. Поэтому здесь сравним нашу функцию Лагранжа с соответствующей функцией, полученной Брумбергом, и в случае системы двух сферически симметричных тел. Тогда наша функция Лагранжа (15.ЗО) приобретает вид
\ W (18.1)
где
91 vi* Z18-2'
К,=^iKlm Jtt* + (,KifllDi + m ^Uot) *
. & і \ (18.з,
V —і,in аМа-tl
N- 2? J*J» wU ba^atOaK3aj *
4.4m /^ft>,4tl> 9V_J_ (185)
+ WiCjll4l-/-з)
ф__jfftUfflt (18.6)
іа-їі •
(J.8.8)
92 В выражении (18.8) было использовано операторное соотношение
(?.vllS,^) =(SaSlMsoVKV). (18ДО)
Выпишем тепэрь функцию Лагранжа, полученную Брум-бергом /8/ для двух сферических вращающихся тел. Она имеет вид
і, (i8.li)
гдє
- M1D.W. t аД,>а-4І]} ( (18Д4)
К'=2? із-іі' Ч ' іЗ-Tv1 "1,
(J 8.15)
KWaVTU (18.16)
f
ф=-
^ m-t ф'- /л, m Vf4 t/л1 ,«'Wi
+»,«,. Kita«., аі^ї}.
(18.18)
TMhl(ttl (18.19)
А cft®WL с «-"W '
Проведем сравнение (18.1) с (18.11). При эгом
K= К' , (18.21)
ибо, согласно (15.15),
= (, і ?. - т з. W.4) з *- і 3. (со. a )1. (18.22,
Л J
где
(в)
94 =Jpft.
ш? = T. (18-23)
Так как
a'ig-fi _ CQi-UUlt-№
(18.24)
Эсц Эа* IS-fl*
то
Далее, ибо
К, = VC,' + К, . <18.26)
K1= , ,18-27)
UPTP (18-28>
Аналогично
(18.29)
Что касается и , мы должны сравнить <а
и rW+Jf + J . Оказывается, что эти выражения не совпадают. Величина была вычислена Фоком /4/ и, согласно (13.11), равна
T^** t (18.30)
а у Брумберга /8/
+ 8-а . (.18.31)
Следовательно, Ф^ и для сферических врашэгацихся
масс разные. Такой результат, на первый взгляа» кажется непонятным, ибо, как показано в § 17, выражения Ф^ и ф^ совпадают в общем случае. Действительно, когда мы рассматриваем тела произвольной формы с учетом их внутренней структуры и вращения, согласно (17Д4),
Ia= 5t^ + tta)= 4 . (18.32)
a
Объяснение заключается в том, что Фок и Брумберг по-разному вычисляют интеграл по объему от давления в правой части (18.32). Интегрируя по частям и учитывая, что давление P обращается в нуль вне массы, получим
JpCdx)>=-± $(Xrai>~4dx)* • (18.33)
Чтобы дальше вычислять этот интеграл, надо обратиться к уравнениям внутреннего движения, т.е. мы должны сделать предположение относительно внутренней структуры рассматриваемого тела. У Фока /4/ уравнения внутреннего движения имеют вид
, (18.34)
где . . ,
г P Cdx')5
U.= )^ (18.35)
есть "внутренний" потенциал тяготения массы YY\Если ввести также потенциал центробежной силы
то в рассмотрении Фока давление
Р^рСи^Ло - п) . (18.36)
Подставляя из (18.34) в (18.33), Фок находит
J pofcM*.-К . (18-37)
и для получается выражение (18.30). Формула
(18.3 7) показывает: когда тело вращается, то среднее
96 давление внутри него меньше, чем при отсутствии вращения, что и следовало ожидать.
Брумберг же предполагает тело абсолютно твердым и считает, что давление внутри него приближенно удовлетворяет уравнению
PoxT-Bxi • (18-38)
Для интеграла по объему от давления он получает выражение
-Lf
Э • (18.39)
І PCdx)*
При этом
1ft e^T. I Ea . (18.40)
Следовательно, Брумберг фактически пренебрегает вторым слагаемым в правой части (18.37). Это кажется не совсем бесспорным, ибо аналогичное слагаемое удерживается им в правой части соотношения (18.40). В нашей работе мы будем придерживаться фоковских предположений относительно внутренней структуры тел.
