Механика теории гравитации Эйнштейна - Абдильдин М.М.
Скачать (прямая ссылка):
J.04 лется около своего среднего положения. Орбита относительного движения является при строгом рассмотрении не прецес-сирующим эллипсом, а прецессирукхцей кривой более сложного вида, хотя и мало отличающейся от эллипса /4/.
Следующая по сложности задача: определить систематическое ("вековое") смещение орбиты частицы, движущейся в поле центрального тела, связанное с вращением последнего, была рассмотрена Лензе и Тиррингом /14, с.426/. Ими найдено, что вековые релятивистские эффекты имеются в движении линии апсид и линии узлов, а также в моменте прохождения через перигей, тогда как в большой полуоси, эксцентриситете и наклонности вековые изменения отсутствуют. Говоря другими словами, имеется как дополнительное смещение перигелия орбиты, так и вековое вращение ее плоскости вокруг направления оси тела (последний эффект отсутствует, если плоскость орбиты совпадает с экваториальной плоскостью тела). Эти результаты в свое время широко дискутировались Гинзбургом /46/ в связи с искусственными спутниками.
Интегрированию уравнения Гамильтона - Якоби, а также нахождению и исследованию уравнений траектории была посвящена наша работа /24/. В качестве метрики здесь была взята метрика первого приближения. На разделение переменных в уравнении Гамильтона - Якоби для метрики Keppa указывалось Картером /14, с.417/.
Задача дэух їел - центральная проблема механики Эйнштейна, как и механики Ньютона. Наиболее общей постановкой ее на современном этапе-развития проблемы движения является задача двух тел конечных размеров, произвольной формы с учетом их внутренней структуры и вращения в приближении лагранжиана L- Перечисленным
требованиям удовлетворяет функция Лагранжа (14.8), полученная в § 14.
В настоящей главе мы рассмотрим задачу о движении двух сферических тел конечных размеров с учетом их внутренней структуры и вращения в приближении лагранжиана
Lrs* Wtcf(^Vct)CRVd Начало в изучении этого вопроса было положено Рябушко /47, 48/, который icходил из урав-
105 нений движения для точечных масс со "спином*, полученных методом Инфельда. Далее, он рассматривался в наших работах /9, 49/ исходя из лагранжиана для конечных масс, полученного методом Фока. Наши исследования были продолжены и уточнены Курмакаевым /50/.
Обсуждаемая задача наиболее полно рассмотрена в монографии Брумберга /8/. В перечисленных работах и в более позднА монографии Ряб ушко /5/ был достигнут определенный прогресс. Вместе с тем в изучении данной проблемы остается еще много неисследованного (учет внутренней структуры, нелинейности по S о , инфинитный случай движения и т.д.). Необходимо также уточнить отдельные результаты и устранить определенные недостатки вышеуказанных работ.
С этой целью мы продолжим дальнейшее изучение задачи о движении двух сферических тел конечных размеров с учетом их внутренней структуры и вращения /64, 65/.
§ 19, Функция Лагранжа
Наше рассмотрение можно основывать на функциях Лагранжа (10.58) или (lfi.lO); в последней было использовано условие ftt*4A Yty % * Мы воспользуемся (16.10), дополнив ее условиями
R* « R і 9 Ri^I nfcV . (19.1)
Отбрасывая члены, пропорциональные ,и вводя но-
вые обозначения Ж , HtjssIUt, CL = T), имеем
4Ч*/Л?\*1а-Утт»Г4і ytrtoI1
J CC0V) j-v—2са с^^Тп. +
+ ^5(IOm0SЧmS„),7 ±1 v ± *
!Об Введем малые параметры
3-?; • 5eI . («-з)
Тогда (19.2) отличается от функции Лагранжа (18.58) для сравнимых масс отсутствием членов, пропорциональных Ij и 3* . Сохранение членов в первой степени S позволяет учесть внутреннюю структуру. Исследуем лагранжиан (19.2). Если в начальный момент времени пробное тело ГО не имеет собственного вращения (W eO), то (19.2) приобретет вид
WV^j. Vй , lt_ ч . Xmmf XA,
a mva/. у* 21 \ xmm#r, зу* cAm. 5т/ ^v^^v
Пренебрегая в этом выражении внутренней структурой массы Щ, получим
Перепишем выражение (19.5), введя снова ньютонов потенциал U и вектор-потенциал U J
U = ^ , u-f-tvis.l. <19-6>
Тогда
107 -^)-^50)-^ CIS. VlO)
«ли -1 t Ч її
где M - орбитальный момент.
Если сравнить (19.7) с лагранжианом (3.9), Использованным нами в первых двух главах, то легко видеть, что они отличаются учетом в (19.7) членов
Это связано с тем, что в главах 1 и 2 мы исходили ;из метрики первого приближения Фока (1.32), в которой был опущен интеграл
Г.РЧ|у'+ П- О)'- Pkk {хдло)
і
Теперь приведем значение интеграла (19.10), используя результаты § 13. Согласно (13.20)р
rj'Cfv'+п-ц У+*' 1.
і" -
Ioi** IokC Ъг 4 (19.11)
* г> 2 Ъ% кЭХе 1 .
Здесь, следуя Фоку /4/, положено, что тензор напряжений Рік внутри тела сводится к изотропному давлению P :
Рік=- РЗік . (19.12)
Что касается |e , f*; и jOKe » то они определяются формулами (13.11), (13Д2) и (13,19).
Для сферического вращающегося тела, имея в виду фор-
108
MjTibi (11.58), (15.6), (15.8) (15.13), (15.14),(15.27), (15.28) и (15.29), получим
(19ДЗ)
ii-w"*-®, ll914)
1.«r 5.«t ^ Tollt =-^-^4.3,,1*
# (19.15)
где - радиус; D0 - момент инерции относительно оси;
