Механика теории гравитации Эйнштейна - Абдильдин М.М.
Скачать (прямая ссылка):
p = 0 + (8.1) Разрешим это выражение относительно скорости
Поскольку мы рассматриваем вопрос в приближении С."2, то с такой же точностью можем в первом члене правой части данного выражения заменить V1 на P1Zm1. Тогда (8.2) примет вид
* IiU . <8-3)
Если теперь считать независимыми переменными (канонически сопряженными), определяющими состояние пробного тела, tI и р , то скорость пробного тела (8.3) будет уже функцией этих независимых переменных (функцией состояния)
VC?, P (8.4,
Подставляя сюда выражение \J ) из (3.6), получим
Обращает на себя внимание сходство этого выражения с полем скоростей твердого тела в ее который момент времени
40VJt= V0I-CWt (*-*.)], (в.в)
где ,N^0 - радиус-вектор и скорость центра инерции; Z - радиус-вектор произвольно выбранной точки твердого тела. При этом вихрь скорости твердого тела определяется соотношением /28/
ZotV1 ~2U>T. (8.7)
Мы можем по аналогии с этим найти вихрь от вектора (8,5) и полученный результат попытаться связать с угловой скоростью пробного тела. В пользу такого соображения можно привести также и следующий аргумент. Если иметь дело с полем скоростей жидкости, to1 как можно доказать /28, с.170/, 1/2 tot V будет угловой скоростью вращения бесконечно малого объема, окружающего точку // в предположении, что в рассматриваемый момент времени этот объем жидкости внезапно отвердел. Этот аргумент кажется для нас достаточно убедительным, чтобы предположить, что вопрос о собственном вращении пробного тела, движущегося в поле вращающегося центрального тела, решается с помощью формулы /11, 70/
W =S ^lol V . (8.8)
Подставляя сюда (8.4) или (8.5), находим выражение для угловой скорости пробного тела
Cf4a3 (а0)
или ^
(8ДО)
Г*
где M - орбитальный момент} Stt - единичный вектор в направлении ^ ,
Такой же результат получается и їіри интегрировании уравнений вращательного движения, как это показано в 8 ЗО.
41§ 9. Об одной оптико-механической аналогии в механике тел ТГЭ
В предыдущих параграфах этой главы мы рассматривали поступательное движение отдельно от вращательного движения. Теперь изучим их совместно в случае задачи о движении -пробного тела в поле вращающегося массивного тела, причем наше рассмотрение в значительной степени будет окрашено идеями дифференциальной геометрии. Оказывается, что релятивистские эффекты (искривление и кручение траектории, вращение плоскости поляризации электромагнитной волны и т.д.) легче всего изучать с помощью методов дифференциальной геометрии. Дело в том, что известные формулы Фре не
Є = Ktt #
n = ае E - кё , (9.1)
?« -эеVl
где к - кривизна, а точка означает дифференцирование по цлине дуги dL/ds , в сжатом виде описывают все существенные геометрические свойства пространственной кривой /29, с.149/. Если теперь представить (9.1) в виде /ЗО, с.174/
І=l35it
і __ (9.2)
n = tco ПІ ,
^ = LwM1
где ^
Й- те Q + K і , (9.3)
то кинематический смысл формуя Фре не становится вполне ясным. Они показывают, что при каждом данном значении S сопровождающий трехгранник вращается как твердое тало с вектором мгновенной угловой скорости (9.3), причем Скорость берется по отношению к проходимому по кривой пути 5 (который играет, таким образом, роль времени).
В общем случае, когда мы рассматриваем совместно Как поступательное, так и вращательное движение пробного
42тела, его общее движение будет складываться из вращения (9.3) и из собственного вращения (8.8). Таким образом, вектор мгновенной угловой скорости общего движения имеет вид ^
CJ - К е + + ^toitf .
Поскольку последний член в правой части (9.4) уже пропорционален с~г f то мы можем множитель \/v в этом члене ввести под знак ротора. Тогда
+ VCb + е . (9.5)
Определим компоненту этого вектора в направлении 2 j
CJe = * + -^iote ) . (9.6) Введя обозначение
^e= HT > (9.7) приводим (9.6) к виду
AiL а к ¦-H^eM* в ) . (в.в)
ds "
Это означает, что плоскость пробного тела, перпендикулярная к направлению ? , вращается с угловой скоростью (9.8). Следует отмётйть совпадение <9.8) с формулой Скроцкого (4.18) для поворота плоскости поляризации плоской электромагнитной волны.
Таким образом * мы имеем дело с новым примером оптико-механической аналогии, «ризущей именно механике тел (протяженных масс У ТГЭ.
§ 10. Применение теории квазипериодических движений к исследованию задач механики ТГЭ
Теория квазипериодических движений существенным образом опирается на метод адиабатических инвариантов. Последний заключается в том, что при Медленном изменении параметров ( Л ) системы, ее энергия H будет вести себя как некоторая функция от X . Зависимость H от Л можно представить в виде некоторой сохраняющейся комби-
43нации из E и Л . Такую величину, остающуюся постоянной при движении системы с медленно меняющимися параметрами, называют адиабатическим инвариантом /18, с.193/. Производные от энергии по адиабатическому инварианту дают соответствующие частоты движения.
Найдем, например, адиабатические инварианты шварцшиль-довой задачи (о движении в центральном поле). Они определяются теоремой Эренфеста /27, с. 56/, согласно которой при бесконечно медленном изменении параметров периодического движения распространенная на один период величина действия