Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Абдильдин М.М. -> "Механика теории гравитации Эйнштейна" -> 9

Механика теории гравитации Эйнштейна - Абдильдин М.М.

Абдильдин М.М. Механика теории гравитации Эйнштейна — М.: Наука, 1988. — 201 c.
Скачать (прямая ссылка): mehteorgraven1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 32 >> Следующая


p = 0 + (8.1) Разрешим это выражение относительно скорости

Поскольку мы рассматриваем вопрос в приближении С."2, то с такой же точностью можем в первом члене правой части данного выражения заменить V1 на P1Zm1. Тогда (8.2) примет вид

* IiU . <8-3)

Если теперь считать независимыми переменными (канонически сопряженными), определяющими состояние пробного тела, tI и р , то скорость пробного тела (8.3) будет уже функцией этих независимых переменных (функцией состояния)

VC?, P (8.4,

Подставляя сюда выражение \J ) из (3.6), получим

Обращает на себя внимание сходство этого выражения с полем скоростей твердого тела в ее который момент времени

40 VJt= V0I-CWt (*-*.)], (в.в)

где ,N^0 - радиус-вектор и скорость центра инерции; Z - радиус-вектор произвольно выбранной точки твердого тела. При этом вихрь скорости твердого тела определяется соотношением /28/

ZotV1 ~2U>T. (8.7)

Мы можем по аналогии с этим найти вихрь от вектора (8,5) и полученный результат попытаться связать с угловой скоростью пробного тела. В пользу такого соображения можно привести также и следующий аргумент. Если иметь дело с полем скоростей жидкости, to1 как можно доказать /28, с.170/, 1/2 tot V будет угловой скоростью вращения бесконечно малого объема, окружающего точку // в предположении, что в рассматриваемый момент времени этот объем жидкости внезапно отвердел. Этот аргумент кажется для нас достаточно убедительным, чтобы предположить, что вопрос о собственном вращении пробного тела, движущегося в поле вращающегося центрального тела, решается с помощью формулы /11, 70/

W =S ^lol V . (8.8)

Подставляя сюда (8.4) или (8.5), находим выражение для угловой скорости пробного тела

Cf4a3 (а0)

или ^

(8ДО)

Г*

где M - орбитальный момент} Stt - единичный вектор в направлении ^ ,

Такой же результат получается и їіри интегрировании уравнений вращательного движения, как это показано в 8 ЗО.

41 § 9. Об одной оптико-механической аналогии в механике тел ТГЭ

В предыдущих параграфах этой главы мы рассматривали поступательное движение отдельно от вращательного движения. Теперь изучим их совместно в случае задачи о движении -пробного тела в поле вращающегося массивного тела, причем наше рассмотрение в значительной степени будет окрашено идеями дифференциальной геометрии. Оказывается, что релятивистские эффекты (искривление и кручение траектории, вращение плоскости поляризации электромагнитной волны и т.д.) легче всего изучать с помощью методов дифференциальной геометрии. Дело в том, что известные формулы Фре не

Є = Ktt #

n = ае E - кё , (9.1)

?« -эеVl

где к - кривизна, а точка означает дифференцирование по цлине дуги dL/ds , в сжатом виде описывают все существенные геометрические свойства пространственной кривой /29, с.149/. Если теперь представить (9.1) в виде /ЗО, с.174/

І=l35it

і __ (9.2)

n = tco ПІ ,

^ = LwM1

где ^

Й- те Q + K і , (9.3)

то кинематический смысл формуя Фре не становится вполне ясным. Они показывают, что при каждом данном значении S сопровождающий трехгранник вращается как твердое тало с вектором мгновенной угловой скорости (9.3), причем Скорость берется по отношению к проходимому по кривой пути 5 (который играет, таким образом, роль времени).

В общем случае, когда мы рассматриваем совместно Как поступательное, так и вращательное движение пробного

42 тела, его общее движение будет складываться из вращения (9.3) и из собственного вращения (8.8). Таким образом, вектор мгновенной угловой скорости общего движения имеет вид ^

CJ - К е + + ^toitf .

Поскольку последний член в правой части (9.4) уже пропорционален с~г f то мы можем множитель \/v в этом члене ввести под знак ротора. Тогда

+ VCb + е . (9.5)

Определим компоненту этого вектора в направлении 2 j

CJe = * + -^iote ) . (9.6) Введя обозначение

^e= HT > (9.7) приводим (9.6) к виду

AiL а к ¦-H^eM* в ) . (в.в)

ds "

Это означает, что плоскость пробного тела, перпендикулярная к направлению ? , вращается с угловой скоростью (9.8). Следует отмётйть совпадение <9.8) с формулой Скроцкого (4.18) для поворота плоскости поляризации плоской электромагнитной волны.

Таким образом * мы имеем дело с новым примером оптико-механической аналогии, «ризущей именно механике тел (протяженных масс У ТГЭ.

§ 10. Применение теории квазипериодических движений к исследованию задач механики ТГЭ

Теория квазипериодических движений существенным образом опирается на метод адиабатических инвариантов. Последний заключается в том, что при Медленном изменении параметров ( Л ) системы, ее энергия H будет вести себя как некоторая функция от X . Зависимость H от Л можно представить в виде некоторой сохраняющейся комби-

43 нации из E и Л . Такую величину, остающуюся постоянной при движении системы с медленно меняющимися параметрами, называют адиабатическим инвариантом /18, с.193/. Производные от энергии по адиабатическому инварианту дают соответствующие частоты движения.

Найдем, например, адиабатические инварианты шварцшиль-довой задачи (о движении в центральном поле). Они определяются теоремой Эренфеста /27, с. 56/, согласно которой при бесконечно медленном изменении параметров периодического движения распространенная на один период величина действия
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 32 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed