Механика теории гравитации Эйнштейна - Абдильдин М.М.
Скачать (прямая ссылка):
В силу соотношений (11.25) и (11.29) имеем
г о , (11-33)
следовательно,
I Рач — Pi= сопь* . ^11-34)
Величину можно по аналогии с ньютоновой механикой
толковать как составляющую количества движения массы ( Cl ). Тогда величина Fa; будет составляющей силы, действующей на эту массу. Такое толкование, вполне естествен ное в ньютоновом приближении, является здесь, впрочем, не-
53 сколько искусственным, поскольку количество движения Rii зависйт, согласно (11.31), не только от внутренней структуры тела и его скорости, но и от потенциалов U , Ui И W .
Выделим в выражении (11.31) для Pa* члены, зависящие только от внутршней структуры. Внутри массы ( а ) величины Ыа и Uai удовлетворяют уравнениям
Д = , Л > (11.35)
из которых следует равенство
JpVlUfcCdx)' = JpuaiU*)* (11.36)
Используя это равенство, мы можем написать выражение для Pui в виде
Pai e J {/+ ~t P Vi (IV1Ч П - u* ) + Ji P Vr
-MPStf4j"'. и137' ft. tt-
Здесь первый интеграл зависит только от движения и от внутренней структуры тела ( a ), тогда как остальные три - еще и от потенциалов внешнего поля, т.е. от взаимодействия тела ( a ) с другими телами. Вычислением этих интегралов мы займемся в следующем параграфе,
В заключение приведем значения некоторых интегралов, характеризующих внутреннюю структуру тела /4/.
Начнем с интегралов, зависящая: от моментов инерции тела
3 Л ж JpW«-*«>UratHJ,r>* (11.38)
a
и от угловой, скорости. Обозначим через
потенциал
центробежных сил
ft* ~ T Wl* ^VaOtYcV (11.39)
и рассмотрим uirrerpetn
54 Ta= jptta^X)* . (І1.40)
«і
Мы Имеем, очевидно,
'а і ik ^jk
так что Т* есть кинетическая энергия вращения тела (а). Рассмотрим теперь моменты первого порядка с весовой функцией т.е. величины
При помощи обозначений
можно написать
2" ^wi ^li Jikt . (11.44)
Эти выражения равны нулю, если тело имеет три плоскости симметрии. Интеграл
^ss г і P VL^ cJ*>* (11.45)
представляет энергию взаимного притяжения частиц, составляющих тело (взятую с обратным знаком), а
Cai= і Jp UfkCX4-OiKdK)* (11.46)
*
моменты первого яорядка. Используя уравнение Пуассона (11.35), можно представить величину как
t^fe jt Ua)t ЫХ>' • (!1-47)
Аналогично могут быть преобразованы и моменты ^ctiJ
€..; = ^1- J U.)*U4-HiKdn* . (11.48)
Введя величины
55 Qt0 < Я" JU / 9U» ъи*. (11.49)
Где
Я KK =T ^ad , (11.50)
мы можем вместо (11.47) и (11.48) написать
t^-TSfTі,с ^ . (11-51>
^ee (11.52)
Эти интегралы представляют собой частные случаи более общих
=? X ux^ ' (11-53)
-_L t (11.54)
Следовательно,
, . (11.55)
Интеграл
? \ р Ых)*= (11.56)
аналогично
2 J PUi-C4XdxjV ^.-Tft; (11.57) й *
h =.-L(a«-b> . о со \ (11.58)
UI.W)
где
Далее,
Л
56 ifl^VV*11*-*.,• (11-60)
12. Вычисление количества движения в приближении
В предыдущем параграфе уравнения движения представг-лены в виде
^=Fm ,
где количество движения и сила Fai выражены инте-
гралами (11.31) и (11.32). Нам надлежит вычислить эти интегралы и выразить их через параметры, характеризующие движение тел как целых в релятивистском приближении с учетом членов, пропорциональных rVd8.
Для вычисления Pai воспользуемся представлением этой величины в виде (11.37). Выделяя в этой формуле члены, соответствующие собственному количеству движения, и члены, происходящие от взаимодействия, напишем
Pai - С Pal Ws + (^Оц.« , <12-2>
UliUcrI- \pVJn' +M^TV-^
+ - Муіттї cdx)\ <12-3>
Э KiM
(12.4)
4 с*>
a « * 1
Вычислим сначала интегралы, входящие в (12.3). Первый из них дает количество движения в ньютоновом приближении и равен
J^Vi с*)'« Vne^i (12.5)
57 При нахождении второго интеграла будем иметь в виду соотношение /4/
рП-piU+ P ^pSl0i 9 (12.6)
а также формулу
іV2 = Ia*+^W-Vui-CiiWftet , (12.7)
которая следует из (11.2). Второй интеграл равен
Ыю'= (± Hla CI2kK + 2Та6ч ¦
Ot
+ «^«ЇЇЗІЇа,-. , (12.8)
если воспользоваться обозначениями (11.38), (11.40) и (11.41). Последний интеграл в (12.3) может быть преобразован к виду
-і (12-9> Cl * г
Применяя затем формулы (11.59) и (11.60), получим
OL *
Собирая все три интеграла вместе и вводя обозначения
c=a4VT.4, (12.12)
для "собственной "части количества движения получим выражение
+ !-(SV0Ci +VtaM
v C1^tK ак +?i J . (12.3)
ЗйеСь первый член преиптавляет, как уже отмечалось, ньютоново выражение для количества движения. Второй
58 член даег известную из механики материальной точки к нему добавку. Последнее слагаемое можно толковать на основе понятия о тензоре эффективной массы (матрица коэффициентов при составляющих скорости в выражении для составляющих количества движения). Если мы положим
K=UIr + - ^rU^tat)1 +
^ZSttiClll * *Г сц} , (12Д4)
то, очевидно, будем иметь
(Pa J^5=-Hr • (12Д5)
Этим уравнением величина К определяется с точностью до функции, не зависящей от a; . Мы добавим в (12.4) члены E Ta я*1*1 того, чтобы в нерелятивистском приближении величина К переходила в обычное выражение для кинетической энергий системы тел.
