Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Абдильдин М.М. -> "Механика теории гравитации Эйнштейна" -> 15

Механика теории гравитации Эйнштейна - Абдильдин М.М.

Абдильдин М.М. Механика теории гравитации Эйнштейна — М.: Наука, 1988. — 201 c.
Скачать (прямая ссылка): mehteorgraven1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 32 >> Следующая


Бели учесть (14.4), выражение для сипы (13.53) преобразуется к виду

5s^tV к* Vе?- %- cH-VV). (14-6)

78 Выражения количества движения (12.37) можно записать следующим образом:

Наконец, введя функцию

L= к,+ KiI-K^ к-ф- -W , (14.8)

мы можем написать вместо (14.6) и (14.7) равенства

Это означает, что уравнения движения (11.ЗО) dfti

XT = fCti U4.10)

можно написать в лагранжевой форме

= 0 . (14.11)

dt Э си

Функция L есть искомая функция Лагранжа системы тел произвольной формы с учетом их внутренней структуры и вращения с точностью т^* Сс^/с'КRVDt) .

В заключение выпишем еще раз функции К t V* л , Ktf Ф и V . Согласно формулам (12.14), (12.33), (12.34), (13.27) и (13.39), они имеют в>щ

к= 1(1 rnaa\+Ta} (14.12)



JO^ UJi + ^ + (мдз)

¦ , (о) nt") і п(а1 ^ . . » ч

79 - - і з;:; і н> ц^ *

* пСІ) д \1 3*13-

"Т ^^^Ьа.За^а; ' (14Д4)

і

Ca^ І)

+-IrIm у'і/Г-^__і— ) +

+ C5 ч 1 а \а- ІІ « * *J«1 эмае іа- Ь

tT'm (l'iiui-T'i.f-i__і—VU

JL Гт'чШ ^a (Vу у™« /,C4 L < J*e ЭОсц v^ Ш-Ті ;

ЇГ jKf 9ак9аі їй-M JJ '

so § 15. Релятивистская функция Лагранжа системы сферически симметричных вращающихся тел

Посмотрим, чему равна общая функция Лагранжа (14.8) в случае сферически симметричных однородных масс с вращением. Для этого рассмотрим последовательно функции К,

K1, KftI К, . Ф і cPi .? эФ, f V.

Чтобы получить функцию ^ из формулы (14.12),

вспомним, что величины Та» ^ ік и I I , согласно формулам (11,41), (12.11) и (12.12), имеют вид

W<-C<«, UW)

(а) С чОгЛ**

TS , (15.2)

нг = 2 таі - cJ*i. (15.3)

Для сферически симметричных и однородных масс цаходим

et

Tai=K^uOp = O, (!5.6)

eai-0 , (15.7)

B1^I1C- О • (1S.8)

Скаляр За в формуле (15.4) равей

Jpwtfi^mX f (15.9)

о

где Ra- радиус тела "а", Тензор момента инерции в механике, как известно, описывается выражением

Ifu' XdxMlK , (15.10)

где *

81 n _ 2 9?

Ja ""5 - (15.11)

Сравнивая (15.11) с (15.9), имеем

I - І

><х 2



Величина

^-HpuftCdX)'= I -Zgl (15.13)

есть энергия взаимного притяжения частиц, составляющих тело (взятая с обратным знаком). Учитывая формулы (15.4) - (15.13), запишем вместо (15.1) - (L5.3)

т» = T Л , (15.14)

' (15Д5)

Zt^=O . (15.16) Тогда искомая функция

Из (14ДЗ), имея в виду формулу (15.4), получим для функции K(1cf>) следующее выражение:

*С>= 77? I ytm.w,+4оОв + тД)д]«

Паї -Sd^1 -у ^ 3^tl ) (15.18)

v Ia- В\ 1 гЭа^ак Л

Для вычисления К г учтем, что в нашем слу-

лса) ^ca) Ac®1)

чае в общей формуле (14.14) величины Jj* , Jj4? , JjKP. соответственно равны

ce)nW (15.19)

JjK - wSJ JSK + wSK - u , 82 D^e = ' (15.2U)

a

f,tO («in») (mnW I») rJtaj p. .

V = + vW ^jItti = (15.21)

Поэтому (14.14) приобретает вид

?4? v-^evAa^^. (15.22)

Ca* I)

Фу нкци я U j равна

^ " Ac1 ь 55 aJj 1і ^г^Щд^і

{aft) * 1

JM st) 9а 4

- + к

СаЯі)

Согласно формуле (14Д5),

Функции ф1^ и Ф4(с<г> f если ИСХОДИТЬ иа (І4Д) и (14.2), соответственнно имэ№ вид

(Сф) J ___J

=0 , (15.26)

где fa определяется формулой (13Д1) .

Определим теперь функцию Ф^** в ДдЯ этого в формуле (14.3) нужно знать значения величин Для

сферически симметричных однородных масс. Эти величины в силу (13.10) и (13.19) равны

83 = , ^5.27)

где Ta^ и в свою очередь выражаются фор-

мулами (13.13) и (13.18). Расчеты показывают, что в нашем случае

"U = Ц- X KlC^X- ^ltf ), (15.28)

W--S-^IMk1 • (15'29)

На основании этих формул и значения (14.3) получаем

<сф> 2 г,4 п* <•»> <•*>

Ca* 6 )

і n* і») Ca> ф* ^

-vvNRAwlcWt Ja^^Tf, • (15.зо)

Подвергая это выражение дальнейшему преобразованию,

находим

><с*> 4

- Г, ^ J LH,.

JOS«?]!SivIHtsU ' (15-31)

ч-

mi

т не Sa- З« COa - собственный угловой момент тела "а".

Остается определить в Как видно из общей

формулы (14.16), в случае сферических однородных масс Функция

84 Итак, если учесть формулы (15.17), (15,18), (15.22), (15.23), (15.24), (15.26), (15.30), (15.31) и (15.32), релятивистская функция Лагранжа для системы сферически симметричных однородных масс с собственным вращением имеет вид

ДСФ) (СФ) <СФ) <<*>.,(<*) СИ) (Сф) (с*) <г ф)

L-K ^Mj -Ф V (15.33)

8 16. Функция Лагранжа системы двух сферических масс Cttia^vtil) с собственным вращением

Мы имеем

С'-й isIr1. (16-2>

- Cpu*'=-ІПЗЇЖ- (16.5)

-«РГ-і H,".)4- . (1е-е) Собирая все эти выражения, получим

Перегруппировывая соответствующие члены, имеем (АФ) ^ і , . V

а V Ct^me ^ 2е а

86 +Ь --т^+ІЇ'Ої']+

(16ДО)

В этом выражении условие Wtt^WH использовано постольку, ПОСКОЛЫ^Г при выводе формул (16.1) - (16.3) было положено 6(= О в а также отброшены члены, пропорциональные отношению Mla /fflg в (16.8).

§17. Замечание по поводу релятивистской функции Лагранжа (14,8)

Как говорилось выше, релятивистская функция Лагранжа (14.8) была получена в нашей работе /9/. Позднре в монографии /8/ Брумберг также рассмотрел вопрос о релятивистских уравнениях поступательного движения и соответствующей функции Лагранжа системы тел произвольной формы с учетом их внутренней структуры и вращения с той же точностью и тем же методом, что и в нашей работе /9/. Выпишем полученную им функцию Лагранжа
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 32 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed