Механика теории гравитации Эйнштейна - Абдильдин М.М.
Скачать (прямая ссылка):
Различаются между собой cPj и cP^ . У нас при коэффициент равен 2/7, а у Брумберга при ф| коэффициент получается 15/56. Расхождение связано с вычислением
t ; ft 5 TcV -?- (18.41) JciKt в 7 lKft ^ J ісЄ f
где
"Cl e Jf VOUt-QtHclx)*, (18.42) *
1ц! = S ^u* KVcgCV^X)* . (18.43)
Si
Функция Ф* Брумберга получится, если в (18.41) положить vI^J = O . (18.44)
Действительно, при гаком условии для двух сферических тел (17.9) дает
97 т.е. мы получили выражение Брумберга (18.18).
Здесь необходимо отметить, что условие (18.44), которым пользуется Брумберг, для нас неприемлемо, поскольку мы придерживаемся предположения Фока. В самом деле,
Vts Ъ?) Сх«-а«Кхе- ав)ОЬс&
= ТкГ + 1S P СХк-CU KXe-df Kdxfl (1846)
если иметь в виду (18.36). Здесь первый член в правой части - то же самое, что и первый член в правой части (18.41), и никак не нуль. Что касается интеграла
І р U*-ate)CXt- CItKdX)7, (18.47)
то он не вычислялся ни Фоком, ни Брумбергом. У Фока (18.47) выпадает просто иэ-за приближения. Брумберг же вводит его, но, однако, не вычисляет в силу принятого им допущения о внутренней структуре. Этот интеграл был нами вычислен /9/ и равен
«tK^Hw +Км*-|тЛ\
а (18.48)
где учтено равенство (15.29). Тогда (18.46) запишется а&к
V „=—T ш + -Kffl1H I (18.49)
JkI 5 lHt ^ 35 5 * ^e0*1
Вот то условие, которое мы должны использовать вместо условия Брумберга (18.44) и которое объясняет коэффициент 2/7 в нашем <Pj .
98 Далее, рассмотрим У й . Так как
маДг" e Stift-Ir4e (їв.50)
тр (18.9) можно записать в виде
ив.«»
которое совпадает с V' . Остается сравнить и ^
Имея в виду тождество
V 15-11 J SiiBu+В** Su + 5ц Бл
f SijBu+Sm-< I
..Ж CQr Ml^r
Ш-tV"
icr 4\в
^ ^Лр&ЛЖА^Лї j (18.52)
убеждаемся в том, что первое слагаемое в обраща-
ется в нуль. Можно показать это и более простым путем:
rfV-J-1 .
= . (18.53)
99 Учитывая (18.53), запишем (18.5) в виде
M =^T Ч --Ur (18-54)
Ь-с* JaJ«w?i wKi аае3ак vaT\
Преобразуем выражение (18.54) с помощью (18.24). Тогда
j,3. 3« /(л JJ . (18.55)
V сМЗ-Г|ЧЛ(л)«и)<) 13-ї*1 J
Итак, f
K^ = -A . (18.56)
Отметим, что (18.54) принимает и такой вид:
к, CiMiISl-Vi)^ . <18-57'
Подводя итог, можно сказать: для двух сферических вращающихся тел наша функция Лагранжа (18.1) отличается от полученной Брумбергом (18.11) коэффициентами соответственно при и t а также при и cP^ , что связано с более полным учетом нами внутренней структуры тела.
В заключение проведем сравнение нашего лагранжиана» (18. 1) с функцией Лагранжа для двух точечных масс, полученной Рябушко /40/ методом Инфельда. Для этого перепишем (18.1) в следующем удобном для сравнения виде:
L=K**^ К,* К,-9- Я>,- Ф,-Ч>,
(18.58)
где
к.= ^J1Wt 4 (т. V тЯМ^а^®?)*.
IOO ( de.во) , (18.62)
^HI ^ ^.51)-?^])? , (18.ЄЗ,
Здесь, согласно (15Д5) и (18.30),
= + f . (ів.б8)
Величина
Sc, - 3« COm . (18.69)
Запишем функцию Лагранжа, полученную Ряб ушко:
L-L0^L3+Le , (іело)
где
102 L =4 to Sa + і ж їг + liUalUL (18.71)
lO-I0V1 + 5^6 + ,
j« ta,a4)(^tt-I)-, HtIn4HIt(IIUtiiU) (18.72)
із-іі1 J" 2сМа-ї\4 '
L (лі * - »M *
2c* 2ca 2cs Ka-ft '
ft 6? j - удельные собственные моменты, CaiC|-
постоянные величины, определяющие энергию собственного
ff »I IIA I»
вращения тел (X и О .
Теперь сравним функции Лагранжа (18.58) и (18.70). УРябушко отсутствует слагаемое ^
102 которое входит в K^ ; отличаются коэффициенты в Ф^ от коэффициентов при соответствующих членах в (18,70).
Отсутствие (18.74) легко объясняется тем, что в методе Инфельда рассматриваются точечные массы и (18,74) для них равно нулю. Что касается отличия коэффициентов в "спин-спиновыхг членах, то, по-видимому, оно имеет более серьезный характер. Коэффициенты же при "спин-ор-витальных" членах обоих лагранжианов полностью совпадают Глава 4 ЗАДАЧА ДВУХ ТЕП
С УЧЕТОМ ВНУТРЕННЕЙ СТРУКТУРЫ И СОБСТВЕННОГО ВРАЩЕНИЯ
В релятивистской теории тяготения задача двух тел в наипростейшей постановке - движение частицы в центрально-симметричном поле одного центра - была впервые рассмотрена в классической работе Эйнштейна /41/. В результате этого исследования было установлено, что ньютоновский эллипс частицы претерпевает очень медленное вращение, причем плоскость орбиты сохраняется. Заметим, что уравнения движения интегрировались Эйнштейном приближенно.
Общее решение задачи о движении в центрально-симметричном поле одного центра содержится в работе Хагихара /42, с.98/, в которой уравнения геодезической линии интегрируются при помощи эллиптических функций ВейерштраСса.
Более элементарное исследование уравнения релятивистской орбиты, выполненное при помощи эллиптических интегралов в форме Лежандра, а также классификация орбит в центрально-симметричном поле Шварцшильда рассмотрены в работе /42/. Свойства траекторий в этом поле изучались в трудах /43, 44, 45/. Задача дйух тел сравнимых масс без собственного вращения впервые исследована Робертсо-ном /14, с.434/. Он показал, что при заданных размерах и форме орбиты относительного движения смещение перигелия такое же, каким оно было при движении одного тела в поле неподвижного центра с массой И^+ИІ^ . Фок дополнил: при финитном движении ньютонов центр тяжести колеб-
