Механика теории гравитации Эйнштейна - Абдильдин М.М.
Скачать (прямая ссылка):
Ы YU ) , (26.2)
где Vl - среднее движение.
В элементах Делоне H запишется как
н-tv,,* M1 ?t . A f(<Swv>* L
"-1"'-??- и «ІІМ«.' »
2 г-.*
зт m f f>Jl . —T(O)5C^a+
-T ~ ~йгЛ ~ *' vtf 3 *
-V W5AWij)1+ - )2 ]-
- si/иЧ? coa ) * ist (Sx T.
142 - Sv сооБ ч- ^aM1) +і-(Л* 5.) -
3 (s? J M1- мі ї - s* Jm1- иJ C^ з ч-
IM1
(26.3)
е
COs — Сдк сол 2 + С0уб4.и5 ,
___(26.4)
„ ^xMj . _ 4M»
^Ha--TTiAtnЇ +-^UiS-tO.,'
з M M
W '
В данных выражениях Sx,..., M** ~
проекции векторов 5 і 5 » ^ и б5 ^на оси неподвижной системы координат хУ? с ортами \ ^ J , Vc . Напомним, что в этой системе
<2 у т=: 3 T ч- S^ C^i AiviS 7 + СОАІСЛЇ?»
(26.5)
Из (26.3) видно, что H не зависит от переменной ?. Поэтому будет иметь место интеграл движения
Мо = С*иЛ. (26.6)
Составим производную
аН __ У%С0а(Мо-И) (26.7)
Э9 2MJCM.+ M)c*
143 Сравнивая (26.7) с (25.1), получим
ам зн (26.8)
Рассмотрим производную
ЗН . V1WA-уЧЗй) м (И.
-lC^Sj-^(^M)CboM)] , (26,9) где
М, = MkX і- KyJ . (26.10)
Введем теперь специальную систему координат x ^ , y^ , Zc и направим ось Z. ^ вдоль вектора
ftM= 2ИМ;(М.-М)с» Чг e^
(26.11
144 Тогда в этой системе производная (26.9) примет вид
ЭН __ V1KV^sJ t 3mVA 3m1 И Эм "^М.СМ.+М^с1 M'ttV " с* VAs-VlH
+!^(ЗЯ)+!^)-^^)^)]«.26-12)
Сравнивая (26.12) с (25.27), находим
- TT^ . (26.13)
Таким образом, (26.8) и (26.13) образуют автономную каноническую систему.
Аналогично можно было бы искать и уравнения для переменных M^ и 5 , однако на этом мы останавливаться не будеми
Уравнения первого приближения (23.20) имеют особенно простой вид в элементах , Q и Qm. Действительно, составим производные
ЭЙ з Vt Si &
ЭН *
= 2М* (X--W) '
(26.14)
(26.15)
о _ Гп? . зт»
3?* »h.MlM1C* L be
cO -
ЇМ ^M
145 Тогда уравнение (23.20) запишется в виде
^f= ійЛі+ій^м^лЛ. (26Д7)
Обращает на себя внимание симметричность правой ^части выражения (26.17) относительно элеменюв <?д , и ём . Заметим также, что оно для своей записи требует знания только H .
Если переписать (23.20) с учетом (25.18), то имеем
dM _ Sa^ У*ЧНо-У0 Л , Г П \АП (26.18)
сН """ 2MJCM.4-M) с» Ln ^
Детально сравнивая (26.18) е (26.17), находим
) , (26.19/
Л к=- It- с- са. с. )? ^J?,! ,26-20)
Из (26.19) ясно, что величина M сохраняется, т.е. является адиабатическим инвариантом, если
(ЛгеА) - . (26.21)
Так может быть^при следующих условиях: ^
1) ЛЛ =Ot Slb=O, т.е. И не зависит от и Qj^;
^2) и SI1l или просто СО перпендикулярно к G4
и б. Эти условия дополняют те, которые мы перечислили в § 25 при обсуждении вопроса о сохранении величи -ны M .
Далее, в силу существования равенства (25.10) выражение (26.21) является также и условием сохранения величины А.
§ 27. О собственном вращении
До сих пор мы обсуждали вопрос о поступательном движении пробного тела. Что можно сказать о его вращательном дгижении?
146 Анализ начнем с определения вращательного импульса или собственного углового момента пробного тел^а S . Для этого у нас есть возможность определить S по аналогии с поступательным импульсом p = 3L/dV как
5 =1?- . (27.1)
9(0
Тогда, беря векторную производную по СО от лагранжиана (19.2), имеем
Здесь использована формула (13.ll), согласно которой
v^ I (27.3)
Интересно отметить , что вращательный импульс (обоб-щенный вращательный импульс) S содержит не только член, пропорциональный СО 9 но и члены, пропорциональные
N? , M , S0 И , Ибо ^ ^ х
В этом отношений есть определенное сходство с поступательным импульсом ? . Согласно (20.3), поступательный импульс р также содержит не только член, пропорциональный у , но и члены, пропорциональные СОД&ъ! и LS.S3.
Если в начальный момент времени C^cO f то из (27.2) следует, что
ZlJrrLo Д п 1Ґ\\
Получается так, как будто возникает индуцированное вращение с угловой скоростью
S -W-WO (27,6)
wK и iZmcl
147 Выражение (27.6) с точностью до знака совпадает с (8.9)f подтверждая, таким образом, идеи, изложенные в § 8.
Как же теперь найти форму уравнений для изменения вектора S во времени? Для того, чтобы разобраться в этом вопросе, выпишем исходный гамильтониан рассматриваемой нами задачи двух тел;
и » P1 ^O 1 Г Р* JTW1.
< CS?)C3?)*.gu*C Ь.-Dmij-
- * (15? [s. V ^l)- SCisrr fin )27 Л)
Преобразуем (27.7) к виду
H = ? „ + (I + ill X^
22*3 с 1 8 4 3* }
> »«и. / . < Si-Uu-
(27.8)
7 Wi0 С * ' 9
148 где использованы формулы (19.6) и (19.13);
U =It?!. S.], Ыг+К !27-9)
Для нахождения формы уравнений для ? обратимся к выражению (23.20). Оно имеет вид
df * а* ** . <27-10>
Теперь следует заметить, что такому же уравнению удовлетворяет любой вектор с одним закрепленным концом /53, с. 174/. Следовательно, мы можем записать,
g + TSbSl (27Д1)
dt d+ ^s J •
Остается определить dS/cH* и SLs, . В этом пункте можно также провести аналогию между Й и S и воспользоваться результатами, полученными при изучении вектора M . Действительно, поскольку гамильтониан (27.8) явно ке зависит от вращательных координат, можно положить
