Механика теории гравитации Эйнштейна - Абдильдин М.М.
Скачать (прямая ссылка):
Интересно отметить, что аналогичная ситуация (приблизительно в то же самое время) существовала также в исследованиях Инфельда и его последователей. Действительно, в работе /3/ была получена релятивистская функция Лагранжа системы вращающихся точечных масс с учетом членов, линейных относительно собственного момента вращения, тогда как Рябушко /39/ были учтены члены, квадратичные отнс
48 сргельно собственного момента и одинаковые с ними по порядку выражения.
Таким обраарм, становится ясно, что следует поставить вопрос о релятивистских уравнениях поступательного движения системы вращающихся тел произвольной формы и соответствующей функции Лагранжа с точностью L~ ту, ^ .
Тогда эти уравнения движения и функция Лагранжа явились бы естественным обобщением предыдущих результатов и были бы наиболее общими соотношениями, которые можно положить в основу механики тел (протяженных масс) ТГЭ. Эта задача была решена в нашей, работе /9/ и позднее в работе Брумберга /8/ на основе второго метода Фока. Мы исходили из работы Фока /4/ и продолжили его вычисления с учетом релятивистских члёнов второго порядка относительно ^ . Приведем некоторые результаты работы /9/.
§11. Интегральная форма релятивистских уравнений поступательного движения. Преобразования Фока
В монографии /4/ Фоком получена интегральная форма релятивистских уравнений поступательного движения системы тел произвольней формы с учетом их внутренней структуры и вращения, т.е. рассмотрен достаточно общий случай, Для одного из тел, например дла тела эти уравнения имеют вид
^rwu)] +IbPV- AtfUi}«**.
(Хід)
« а
где р - плотность массы,* Vi характеризует распределение скорости внутри тела и имеет вид
Vf Cli * Ubl' CXj-Cli) , (11.2)
(а)
причем Wj^ - трехмерный антисимметричный тензор угловой скорости тела ( а ), Для составляющих этого тензора, опустив значок ( а ), можно написать
49 cjOe^-I • f . (11.3)
Далее, в выражении (ll.l): р - изотропное давление; П - упругая энергия единицы массы;
+ . (11.4)
где U - ньютонов потенциал; U^ - векторный потенциал; U - обобщенный ньютонов потенциал. Эти потенциалы определяются уравнениями
, (11.5)
A Vi-AitpVi , (116)
Следуя Фоку, подвергнем уравнения (11.1) некоторым преобразованиям. Рассмотрим первый член правой части (11.1), разбивая потенциал U* на два слагаемых
Utt=Ul ¦ u*ta' , (11.8)
I.* II4k*)
в которых Ua происходит от массы mA , a U от остальных масс. Тогда будем иметь
а а а
В ньютоновом приближении первый член справа равняется нулю, поскольку есть равнодействующая внутренних гравитационных сил. В релятивистском же приближении, когда уравнение Пуассона заменяется уравнением (11.7), это уже будет не так вследствие запаздывания.
Подставляя в рассматриваемый интеграл величину Ua иэ уравнения
AUl-^^Tpr=-^ , (11-1°)
справедливого внутри массы (а), и учитывая, что интеграл от улена, содержащего оператор Лапласа, равен нулю, получим
БО а х e^)
В силу присутствия малого множителя перед интегралом, мы можем в правой части (11.11) заменить величину U«, ньютоновым потенциалом Ua , после чего формула (H.ll) запишется в виде
Введя величину
K-tSP'I^^H^5 (11.13) * а
связанную с U* соотношением
AWa « Ua і (11Д4)
можно преобразовать интеграл в правой части уравнения (11.12) и записать его в виде
OL ™
Последнюю формулу можно было бы вывести и более прямым путем, подставив в интеграл слева приближенное значение уравнения (11. 10). Таким образом, первый член Прей вой части (11.1) можно представить как
a a 1 л
Сделаем еще одно преобразование. Введем функцию
W-tJp'lM'KdxV, (11-1?)
представляющую с об ей решение уравнения
AW=U (11.18)
с ньютоновым потенциалом U . При сравнении (11.13) с. (11.17) очевидно, что
W-TWet U1.19)
a ¦
51 подобно тому, как ньютонов потенциал есть сумма потенциалов отдельных масс
Ue^ в (11.20)
Разложение ньютонова потенциала на два слагаемых
Uc*)» UetI5O--UiIV) , (11.21)
где Ua происходит от массы Ytx9l ("внутренний"), а Uw-от остальных масс ("внешний"), соответствует разложение
V= Wa. + Wu0 (11.22)
Используя указанное разложение, вместо (11.16) можно написать
+ їрЙї^ •
a v
Повторяя рассуждения, которые привели нас к формуле (11.15), по отношению к совокупности всех рассматриваемых масс, мы приходим к формуле
J^xi D c'dUVeXi"
откуда следует, что
I (MTW-\o2VW)=o
(11.24)
(11.25)
а Ї
Рассмотрим теперь последний член правой части уравнения (11Д )Раэпеляя вектор-потенциал Uvi на "внутренний* и "внешний":
U1C=Uait+ иг , (11.26)
заключаем, что в силу уравнения Пуассона (11.6) будем И Г тот ь
Uvk M^cdx)5-о (11.27)
sP ЭХ: a т
52 Поэтому последнй член в (11.1) равен
а * A
ПрИ этом
JpVl^ (Jn',0 . (11.29)
і*») *д X і
Мы рассмотрели все члены правой части (11Д). Перенеся налево последний член правой части (11.23)9 который HMeet вид производной по времени, уравнениям движения (11.1) придадим вид
, (11.30)
Где
P«- \(рViI< * JT(^V** n *y\))Vppv,: ** J ЪК* с1 cU
