Механика теории гравитации Эйнштейна - Абдильдин М.М.
Скачать (прямая ссылка):
Г А Г зСУШ.Г »(W* (а<4&«.
А ~ Iavt 0-е1) 1 W'O-e')1 4 4 m.
3S л -¦/ і У т. г/ 4S. 3S V 4.-Uli *
(22.8)
125 Полученное выражение совпадает с уравнением, которое приводится в работе Курмакаева /50/ и монографии Брумберга /8/.
Следует заметить, что вектор А для рассмотрения задачи двух вращающихся тел впервые был применен в нашей работе /49/.
2. Из наших уравнений (21.45) и (21.46) можно получить следующую изящную форму уравнений движения (22.4) и (22.8):
ІІ-ГПМІ cU r n Al (22.9)
dt =IftHl , Sf = UAl
где
^ ~ абртс2 (Xfepca^ 0 2щ Ъ '
+ ScmSJ)-W
+ (22 до)
2т z
Если (22,4) и (22.8) выглядят не связанными друг с дру^ гом, то (22.9) выявляет их общую структуру и глубокую внутреннюю связь.
3. Несмотря на достоинства формы, в которой записаны уравнения (21.45) и (21.46), они имеют один несомненный недостаток, который, правда, сразу не бросается в глаза: смешение кеплеровых элементов а , G с векторными элементами A , А в правых частях этих уравнений. Проще говоря, имеется ненужное обилие элементов , ?, И , А ), определякхцих орбиту.
126 (23.2)
(23.3)
8 23. Преобразование уравнений первого приближения (21.45) и (21.46)
Начнем с замечания, что из (21.45) и (21.46) немедленно следует интеграл движения
MU-e1)4* scowol . (23.1)
Действительно, из (21.45) и (21.46) видно, что
dM __ MtS1COaU-/?^) d-1 2ар т*с*(А+/ГёТ) '
U fr)4StMA
Тогда
dM еа M (23.4)
dA ~~ (Л-еа)Л
Поскольку
A ^ )/Q , v=ymme , (23.5)
то (23.4) запишется как
dM __ gcle в (23.6)
И U-Q1)
Отсюда уже получается (23.1). Таким образом, постоянная в правой части (23Д) есть адиабатический инвариант рассматриваемой нами задачи. Обозначим ее
М^ИИ-е1)"^ . <23.7)
Tпк кпк
M= /nrTTcKve1) , (23.8)
Т-о получается
wi Jf mrv.a = / wW . (23.9)
127 В конечном счете адиабатический инвариант M0 связан с "нерелятивйстской" энергией
С--- . У* (23.Ю)
SLlAte '
Из (23.9) следует, что большая полуось орбиты не эволюционирует, сохраняя в среднем постоянное значение.
Можно также записать
е.0~*г)"\ Г (23.11)
• О
Выражения (23,7) и (23ДО) указывают на то, что Me является максимальным значением M при данной энергии E .
Благодаря найденному инварианту можно уменьшить на единицу число независимых переменных в уравнениях первого приближения. В качестве такой переменной мы берем Тогда (21.45) и^ (21.46) будут содержать только переменные M и Сд , а также адиабатический инвариант Vlf. Следовательно,
dM. S^v1PMO * * Tjwv-I
di " 2с'М» OVM) м '
Л . StCO,/M(Mt0-Mt)v^ Tftjf1
(23.12)
(23.13)
р» (foVca,^* ¦» vHMs) IjUj1^ 4MM.CM + MJV 2MM*(M.-M)clV M Х +
.ч. S*CBS.))+ ^-cSsWb.)^ -
128 Преобразуем oi . В силу очевидного тождества
9 2М4 J
ЗМ MM 2m 2
--^JlC^BKS.R)} (23.15)
она принимает вид
о - -ад«)И л _m,n j/.
4MM0CM*M.)V * - 2ММ* (M-Me) с* Ли 4
129 -I^(MS) -V i(b»S„) Н)} ,23.16,
1 акое существенное упрощение, достигнутое с помощью введения производной по векторному элементу M , подсказывает возможность еще больше упростить (23.16).
Применяя оператор Э / Ъ И более полно, чем мы это пылали до сих пор, запишем
M0jM Ktftf1
+ ±(Ь*І9 ) - -І- C^M )CS,V\)]\ (23.17)
2 2М1 J >
где 3 - момент инерции пробного тела относительно оси. Введя новую функцию
и C1I^M0CMe-M)vMl4 *л/ MM.4 J
мм» VnX 1
+ T ^s. } - ^M) CS. ft)]} ^ (23.18)
ІЗО приводим (23.17) к виду
а-Ir • <23Л91
Таким образом, итогом проведенных в этом параграф преобразований являются уравнения первого приближения
СІМ _ S4CAtV1Cyvfl .Г-АЛ-1 (23.20)
, (23.2J )
dt
—»
где Л определяется формулой (23.19). Следует заме тить, что в этих уравнениях величины M и M0 имеют размерность действия, a является безразмерной,
§ 24. Пертурбационная функция и среднее от нее
Запишем исходную функцию Лагранжа нашей задачи (19.2) в виде
L=-W1C2 +Тч-^Ч^^ <24Д)
где
131 гак называемая возмущающая или пертурб ад ионная функция /8, 16/.
Гамильтониан задачи (20.4) можно представить как
где
V J m» v * 1 ' tu» 4m* + » p'U-Л L Д)ти-шіЧ_ -JL- .
2т т 2 ) гте1
«(ujm.s «.4«?.)? ^ IP)-І IlivKS.^-
-l^aS.VllS.vi]) (24.4,
Причем, как это и должно было быть /18/,
H=- L7 . (24.5)
Находим среднее от пертурбационной функции \1 . Вначале вычисляем
^4-ii ^+iSriJ. <24'е)
(24.7)
С!-і сгйкарі = ^?^?^*),124 R>
132 Uvt-
m,
2
m
Утл
з my* т.*
m ' a
-ivYxU^-Ml^
(24.9)
(24.10)
= - *
(7* (aAft)
(24.11)
Теперь среднее or пертурбационной функции запишется как
__М!_+ +
1 l/ a*
133 У (24.12)
В векторных элементах она имеет вид
гм* * а ^
- 3V ч UkMlo?] -Umu' )+
M Mo *и0М?М*
* і- (5*S. ) - A )]} (24.13 )
Сравнивая это выражение с функцией W в предыдущем параграфе, убеждаемся, что между ними имеется много общего. Более того, с помощью L можно формулу (23,19) для угловой скорости Л представить в виде
Л=-
или
д L (24.14)
Эй
a-Ur • {24Д5)
