Механика теории гравитации Эйнштейна - Абдильдин М.М.
Скачать (прямая ссылка):
Вычислим (6.42) для случая финитного движения ( E <0 ). Введем обозначения /27, с.57/
A«2mlEl-|i , = \*гь ,
при этом (6. 42) запишется как
ос , С_ -Zld2 _ ОС _____\ (6.ФЧ
= — ачсмп
Если ввести обозначения
35 f-5 . I,6-45)
и выбрать
^o= Я CUe)4 f (6.46)
то имеем вместо (6.44) выражение
О ot сіг 4 Y дг
\ г, о о 4O . (6-47
Теперь уравнение (6» 17) приобретает вид ( 4=0)
Aa^ ф - ^r ОЪСЪгп t-І--Ж-. (6.48)
Г* U Є 2 О
Поскольку постоянная Jbft характеризует начало отсчета угла,то выберем eef не нарушая общности рассуждений, равной
N = . (6-49)
Тогда вместо (6.48) имеем
I = P (i- ))4 =P(4-СCO^tjvj"1. <6-5°)
Это есть уравнение эллипса, вращающегося в собственной плоскости (оно аналогично розеточной траектории Зоммер-фельда /3 2/). Как видно из (6.50),
Uins , (6. 51)
Поворот перигелия при одном обороте частицы по эллипсу определим следующим образом:
»3^2», V-ZZ-ZTfc=HT+ (6.52)
Orc юда
А , бтггто
дц)~--— . —-— (6.5о )
Мы получили известную формулу для смещения периі'елия о обиты (2.36) в случае задачи Шваршпильда. Если t) ^ О ,то (6.41) имеет вид
36 P__-7*
J-A + - с _ 2J>6x' • (6-54)
7о V г г» 7>
Это эллиптический интеграл. Для уяснения качественного характера вклада от собственного вращения центрального тела произведем разложение (6.54) по степеням параметра Ь и ограничимся в нем первой степенью Ь . Тогда Ч et ' Ч
} , . \ т«/г»_ ^
iJ-A + Q.- Ii <6-55)
Преобразуем второй интеграл: г **
^mCHE l + mu)- ^
і:
Учить®ая (6,47), <6.55) и (6.56), имеем вместо (6Д7) уравнение р
или ^ (6.57)
§ 7. Применение методов дифференциальной геометрии к изучению задачи о движении в поле вращающегося тела
В случае задачи о движении в поле вращающегося центрального тела, как это видно из предыдущего изложения, мы сталкиваемся с новым эффектом - эффектом кручения траектории частицы (или светового луча). В частном случае, когда угол наклона орбиты 1«Т/2 , формула для кручения получена нами в § 6 и имеет вид (6.36)
37 ж = 2y,s: . (7.1)
VCa г*
Теперь определим кручение в общем случае, когда л.* -g- • Для этого воспользуемся методами дифференциальной геометрии /11/, В дифференциальной геомэтрии одна из формул Френе записывается как /28, ЗО/
__ g"*« . _ ".2)
где & - единичный вектор бинормали; ft - единичный вектор нормали; dS - элемент траектории. Далее, известно, что о*
Х\ » ? * е 1 f (7 3)
где G - единичный вектор касательной к кривой (траектории). Из (7.2) следует, что_^
Эе^- Cft ІІ- ) . (7.4)
Таким образом, определение вручения сводится в общем случае к нахождению производной di/dS.
Прежде чем переходить к установлению этой производной, вспомним ситуацию, которая существует в кеплеровой задаче. В этом случае единичные векторы б , П , определяются как
. фгі (7.5)
Что касается соотношений (7.2) и (7.4), то они соответственно равны
' (7.6)
В интересующей нас задаче о движении пробного тела в поле вращающегося центрального тела мы будем изучаемое движение рассматривать как возмущенное кеплерово движение, опираясь на малость релятивистских возмущений по сравнению с ньютоновой силой притяжения.
Тогда мы можем к выражению для бинормали из (7.5) применить метод вариации произвольных постоянных. Поэтому
<н_ а гиN /<7
dt VM /. (7-7>
38 С Другой стороны, согласно (5.13), в случае движения частицы в поле вращающегося центрального тела справедливо уравнение
dT= t^.M] . (7.8)
Отсюда, как известно, вытекает соотношение
М-сопь* . (7.9)
Теперь (7.7) примет вид
dl = -2JL TQ Zl (7.10) CaI* Lb. Ъ J
или
dU гсГ Tl
dl vcгЧ* * j • (7.11) Подставляя (7.11) в (7.4), имеем, наконец, для кручения в общем случае формулу
^s . (7Д2)
Угол кручения
(7.13)
Следовательно, поставленная задача решена. Далее, выражение (7.12), когда 6tt S0*переходит в (7.1). Если частица совершает двюкение в экваториальной плоскости центрального тела ((? jl ), то .
В заключение бтметим, что выражение (7ДЗ) как частный случай содержит формулу для угла кручения светового луча (4.20), полученную Скроцким. Более того, общее выражение (7.13) получено гораздо проще, чем формула Скроцкого.
§ 8. О собственном вращении пробного тела, движущегося в поле вращающегося центрального тела
До сих пор мы изучали вопрос о поступательном движении частицы во внешнем гравитационном поле. Что же можно сказать о ее вращательном движении, если рассматривать частицу к/ж пробное тело? Обычный подход для ответа на этот вопрос зоключается в следующем. Из урав-
39 нений поля получают релятивистские уравнения вращательного движения специальным методом (например одним из методов Фока). Эти уравнения затем приближенно интегрируются путем привлечения каких-то специальных математических методов.
Возникает вопрос: необходима ли подобная процедура, когда речь идет о собственном вращении пробного тела, движущегося в стационарном поле вращающегося центрального тела?
Для того чтобы высказать какое-то суждение по этому вопросу, обратимся к выражению для импульса пробного тела в поле вращающегося центрального тела в виде (3.11), которое можно использовать в случае медленных скоростей;
