Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Абдильдин М.М. -> "Механика теории гравитации Эйнштейна" -> 8

Механика теории гравитации Эйнштейна - Абдильдин М.М.

Абдильдин М.М. Механика теории гравитации Эйнштейна — М.: Наука, 1988. — 201 c.
Скачать (прямая ссылка): mehteorgraven1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 32 >> Следующая


Вычислим (6.42) для случая финитного движения ( E <0 ). Введем обозначения /27, с.57/

A«2mlEl-|i , = \*гь ,

при этом (6. 42) запишется как

ос , С_ -Zld2 _ ОС _____\ (6.ФЧ

= — ачсмп



Если ввести обозначения

35 f-5 . I,6-45)

и выбрать

^o= Я CUe)4 f (6.46)

то имеем вместо (6.44) выражение

О ot сіг 4 Y дг

\ г, о о 4O . (6-47

Теперь уравнение (6» 17) приобретает вид ( 4=0)

Aa^ ф - ^r ОЪСЪгп t-І--Ж-. (6.48)

Г* U Є 2 О

Поскольку постоянная Jbft характеризует начало отсчета угла,то выберем eef не нарушая общности рассуждений, равной

N = . (6-49)

Тогда вместо (6.48) имеем

I = P (i- ))4 =P(4-СCO^tjvj"1. <6-5°)

Это есть уравнение эллипса, вращающегося в собственной плоскости (оно аналогично розеточной траектории Зоммер-фельда /3 2/). Как видно из (6.50),

Uins , (6. 51)

Поворот перигелия при одном обороте частицы по эллипсу определим следующим образом:

»3^2», V-ZZ-ZTfc=HT+ (6.52)

Orc юда

А , бтггто

дц)~--— . —-— (6.5о )

Мы получили известную формулу для смещения периі'елия о обиты (2.36) в случае задачи Шваршпильда. Если t) ^ О ,то (6.41) имеет вид

36 P__-7*

J-A + - с _ 2J>6x' • (6-54)

7о V г г» 7>

Это эллиптический интеграл. Для уяснения качественного характера вклада от собственного вращения центрального тела произведем разложение (6.54) по степеням параметра Ь и ограничимся в нем первой степенью Ь . Тогда Ч et ' Ч

} , . \ т«/г»_ ^

iJ-A + Q.- Ii <6-55)

Преобразуем второй интеграл: г **

^mCHE l + mu)- ^

і:

Учить®ая (6,47), <6.55) и (6.56), имеем вместо (6Д7) уравнение р

или ^ (6.57)

§ 7. Применение методов дифференциальной геометрии к изучению задачи о движении в поле вращающегося тела

В случае задачи о движении в поле вращающегося центрального тела, как это видно из предыдущего изложения, мы сталкиваемся с новым эффектом - эффектом кручения траектории частицы (или светового луча). В частном случае, когда угол наклона орбиты 1«Т/2 , формула для кручения получена нами в § 6 и имеет вид (6.36)

37 ж = 2y,s: . (7.1)

VCa г*

Теперь определим кручение в общем случае, когда л.* -g- • Для этого воспользуемся методами дифференциальной геометрии /11/, В дифференциальной геомэтрии одна из формул Френе записывается как /28, ЗО/

__ g"*« . _ ".2)

где & - единичный вектор бинормали; ft - единичный вектор нормали; dS - элемент траектории. Далее, известно, что о*

Х\ » ? * е 1 f (7 3)

где G - единичный вектор касательной к кривой (траектории). Из (7.2) следует, что_^

Эе^- Cft ІІ- ) . (7.4)

Таким образом, определение вручения сводится в общем случае к нахождению производной di/dS.

Прежде чем переходить к установлению этой производной, вспомним ситуацию, которая существует в кеплеровой задаче. В этом случае единичные векторы б , П , определяются как

. фгі (7.5)

Что касается соотношений (7.2) и (7.4), то они соответственно равны

' (7.6)

В интересующей нас задаче о движении пробного тела в поле вращающегося центрального тела мы будем изучаемое движение рассматривать как возмущенное кеплерово движение, опираясь на малость релятивистских возмущений по сравнению с ньютоновой силой притяжения.

Тогда мы можем к выражению для бинормали из (7.5) применить метод вариации произвольных постоянных. Поэтому

<н_ а гиN /<7

dt VM /. (7-7>

38 С Другой стороны, согласно (5.13), в случае движения частицы в поле вращающегося центрального тела справедливо уравнение

dT= t^.M] . (7.8)

Отсюда, как известно, вытекает соотношение

М-сопь* . (7.9)

Теперь (7.7) примет вид

dl = -2JL TQ Zl (7.10) CaI* Lb. Ъ J

или

dU гсГ Tl

dl vcгЧ* * j • (7.11) Подставляя (7.11) в (7.4), имеем, наконец, для кручения в общем случае формулу

^s . (7Д2)

Угол кручения

(7.13)

Следовательно, поставленная задача решена. Далее, выражение (7.12), когда 6tt S0*переходит в (7.1). Если частица совершает двюкение в экваториальной плоскости центрального тела ((? jl ), то .

В заключение бтметим, что выражение (7ДЗ) как частный случай содержит формулу для угла кручения светового луча (4.20), полученную Скроцким. Более того, общее выражение (7.13) получено гораздо проще, чем формула Скроцкого.

§ 8. О собственном вращении пробного тела, движущегося в поле вращающегося центрального тела

До сих пор мы изучали вопрос о поступательном движении частицы во внешнем гравитационном поле. Что же можно сказать о ее вращательном движении, если рассматривать частицу к/ж пробное тело? Обычный подход для ответа на этот вопрос зоключается в следующем. Из урав-

39 нений поля получают релятивистские уравнения вращательного движения специальным методом (например одним из методов Фока). Эти уравнения затем приближенно интегрируются путем привлечения каких-то специальных математических методов.

Возникает вопрос: необходима ли подобная процедура, когда речь идет о собственном вращении пробного тела, движущегося в стационарном поле вращающегося центрального тела?

Для того чтобы высказать какое-то суждение по этому вопросу, обратимся к выражению для импульса пробного тела в поле вращающегося центрального тела в виде (3.11), которое можно использовать в случае медленных скоростей;
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 32 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed