Механика теории гравитации Эйнштейна - Абдильдин М.М.
Скачать (прямая ссылка):
о
<Н (27.12)
Что касается Jis , то по аналогии с С 24.15) запишем
, S1 = -H1 ' (27ДЗ)
где И есть релятивистская поправка в (27.9).
К этим результатам можно прийти и исходя из найденного нами уравнения (26.17)
й - її* G4I - ІЙЛМЯ,ем1. (27.14)
Считая, что данная формула уравнений применима и для ? , имеем ^ ? ^
- ISle1^s 1 , (27.15)
Где Л /
О - . (27.16)
Jte, ЭеГ
149 В силу сохранения абсолютного значения ^ вместо уравнений ('27„ 15) и (27.18) можем записать также
Jf tSs^l . (27. 17)
Явное выражение Sl^ при данном гамильтониане (27.8) будет
(27.18)
г^с'г1
Опуская первый член, который не вносит вклада в уравнение (27.17), получим
A ^ ^m- U ^LJti (27.19)
Наконец.
2-3" с» 2тсгъ с
;
Л"; = . (27.20)
Таким образом, (27.17) приобретает вид
dt = Ir?lvsl"
Любопытно отметить, что уравнение (27.21) допускает L^lbl . (27.22)
и следующую запись:
dl dt
Сравним результаты этого параграфа с аналогичными результатами, приведенными в книге Ландау и Лифшица/14/ и в монографии Брумберга /8/. В работе /14, с.436/ для шарового волчка, совершающего орбитальное движение в гравитационном поле, вращающегося вокруг оси центрального т^л«, приводится следующее уравнение, полученное Шиффом:
150 t Й7 S3. (27.23,
d котором положено
€ = :3*сЗ (27.24)
f
л",'=-^-;1*7 (27.25)
Уравнение (27.25) по внешнему виду совпадает с полученным нами уравнением (27.21). Фактически же (27.23) является частным случаем (27.21), если в выражении (27.2) для S пренебречь релятивистскими членами и в выражении (27.19) для Jj* ^ опустить первый член.
В монографии Брумберга /8, с.311/ получено уравнение вращательного движения. Оно применительно к нашей задаче имеет вид
^ ^ , (27.26)
где ^
_ Vfvu tf? д .LUtS>-?^) 1. (27<27) 2 г» *54
Сравнивая эти выражения с
(27.2) и (27.22), убеждаемся, что наши результаты и результаты Брумберга совпадают, хотя они получены на основе разных подходов. Такой вывод станет еще более очевидным, если (27. 2) представить в виде
зс1 ' с?
1 (27.28)
151 Небольшое различие между первыми членами в правых частях (27.27) и (27.28) обусловлено различием в предположении относительно внутренней структуры тела, принятой в нашей работе и у Брумберга.
В заключение несколько слов об осредненном уравнении вращательного движения пробного тела. Его можно также получить исходя из L и Й . Действительно, имея в виду (26.1) и (27.9), запишем
mc - sis - K^? -s-r^-^v
+ jLI—^UrteJ+zrW^J Г^їм
Напомним, что, согласно (20.7),
S*= S^ g (27.30)
Тогда
ь эа4 6H.V;J w CaWowov 4
(27.31)
152 Осредненное уравнение вращательного движения запишется как
СИ
где
Lursl (27.32)
о n^ і О і ЭН /_t -
+ 1 . (27-33)
Брумберг /8, с.132/ для осредненное угловой скорости прецессии гироскопа дает формулу
(2734)
где fl - среднее движение. Чтобы сравнить это выражение с нашим (27.33), перепишем последнее в кеплеровых элементах« Имея в виду, что
^ у**, м, r^i
М%СМ,+И) ' ' (2735)
KMeW1Al.5 '
получим вместо (27.33) формулу
' set^rM?,)?,) +
153
р )Q\ (27.36)
Теперь видно, что второе слагаемое выражения (27.36) в точности совпадает с формулой (27.34). Первое слагаемое в правой части (27.36) является поправко*^. Отметим, что у нас пропорционально не только Q.^ , но и
? и Qjt.
Обращает также на себя внимание структурное сходство между вторым членом (27.36) и угловой скоростью (3.35) вектора А в задаче Лензе-Тирринга:
О =-*_)]\ (27.37)
Похоже на то, что существует некоторое общее правило, согласно которому любая SL в задаче двух вращающихся тел записывается в виде разложения
Й- (...)€> (...)?+ (...)5-(...)51 . <27-38>
Далее,
, (27.39)
где вектор-потенциал
VJ- ! и^Л. (27,40)
Из (27.40) ясно, что вектор-потенциал создается собственным моментом центрального тела S« .
Представим себе теперь вектор-потенциал, создаваемый орбитальным моментом M . Определим его по аналогии с (27.40) и обозначим как
и.= *tn*> <27-41)
Тогда
154 С помощью (27.39) и (27.42) придадим угловым скоростям (27.36) и (27.37) еще и следующий вид:
Й» =U- TT ^ * * ^ ) • (27-4"»
Как видим, ^ot Om и Чаі U являются общими структурными элементами каждого из выражений (27.43) и (27.44). Поскольку первое слагаемое в (27.37) есть угловая скорость шварцшильдовского вращения, то, как это видно из (2 7.44)^ она оказывается обусловленной вектор-потециалом Uw , т.е. векторным гравитационным полем, создаваемым орбитальным моментом M . Глава 5
ИССЛЕДОВАНИЕ РАСХОЖДЕНИЙ В РЕЛЯТИВИСТСКИХ УРАВНЕНИЯХ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
Одним из неясных моментов в проблеме движения является вопрос о расхождении между релятивистскими уравнениями вращательного движения, полученными разными методами: первым и вторым методами Фока, а также методом Инфельда /63/.
§ 28. История вопроса
В Х959 г. Айтикеевой и Петровой /6/ было найдено первым методом Фока релятивистское уравнение вращательного движения сферически ?имметричных тел в приближении лагранжиана т С^СС^ЛЗ ) . Найденное ими уравнение имеет вид /6, с.227/
