Элементарные оценки ошибок измерений. - Зайдель А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
В оставшемся ряду представляется также подозрительным результат 258.5. Для него имйК9 получается равным (258.5-256.5):2=1.0. Из табл. V видно, что этому зна-
63
чению соответствует ?>0.1, и результат 258.5, разумеется, нужно оставить.
Рассмотрим еще один пример.
Среднее значение плотности ртути d, определенное из 15 наблюдений, равно 13.59504 г/см3; средняя квадратичная погрешность sls = 5 • 10~5.
В ряду наблюдений имеется один результат: d = = 13.59518. Для него
13.59518- 13.59504
умакс— 5 . —2.6.
Для п=15 этому значению і>макс соответствует ? ^ 0.025.
Таким образом, выбрасывая это измерение, мы можем утверждать с вероятностью 0.975, что поступаем правильно, т. е., что оно действительно является промахом.
Если все же оставить это наблюдение в общем ряду, то легко видеть, что оно изменит среднее значение d на 0.00001, т. е. на величину, малую по сравнению с s и не играющую поэтому большой практической роли. Таким образом, решая вопрос об отбрасывании выскакивающего измерения, полезно посмотреть, как сильно оно меняет окончательный результат.
Если вероятность появления данного измерения в ряду лежит в промежутке 0.1>?>0.01, то представляется одинаково правильным — оставить это измерение или отбросить. В тех случаях, когда ? выходит за указанные пределы, вопрос об отбрасывании, по-видимому, решается однозначно.
9. Ошибки косвенных измерений
В большинстве случаев измеряется не непосредственно интересующая нас величина, а другая, зависящая от нее тем или ииым образом. Например, для измерения площади прямоугольника мы измеряем длину двух его сторов а и 6, а площадь вычисляем, пользуясь соотношением S=ab.
При измерении температуры с помощью ртутного термометра мы измеряем удлинение столбика ртути,
54
которое связано с изменением температуры и законом объемного расширения тел соотношением
Ih9 — ) тгг2
to —-1^-T . 34)
2 1 «'о (72 —Ti) '
Здесь tt и t2 — начальная и конечная температура; V0 — объем шарика ртути; у2 — объемный коэффициент теплового расширения ртути; Yi — коэффициент теплового расширения стекла; A1 и /г2 — начальная и конечная высота столбика ртути; г — радиус капилляра термометра.
При таких измерениях, которые называются косвенными (в отличие от прямых, при которых нужная величина измеряется непосредственно), необходимо также уметь вычислять ошибку измерений.
Здесь могут быть два основных случая:
1) интересующая нас величина зависит от одной измеряемой величины;
2) интересующая нас величина зависит от нескольких измеряемых величин.
Общие правила вычисления ошибок для обоих случаев могут быть выведены только с помощью дифференциального исчисления. Поэтому пока мы ограничимся наиболее простыми частными задачами.
1. Пусть зависимость интересующей нас величины Y от измеряемой величины X имеет наиболее простой вид
Y = AX+ В. (35)
Здесь А и В — постоянные, значение которых точно известно. Легко показать, что если X увеличить или уменьшить на некоторую величину АХ, то Y соответственно изменится на величину А АХ. Действительно, зададим X приращения АХ. Тогда из (35) имеем
Y + AY = A (X + AX) + B1 (364
вычтя (35) из (36), получаем
AY = AAX. (37)
Если AX — ошибка измерения величины X, то соответственно AY будет ошибкой результата.
55
Если У=/ (ж), то в тех случаях, когда ошибки малы по сравнению с измеряемой величиной, мы можем с достаточной точностью написать
AY =f (X) AXJ (38)
Если мы хотим найти величину относительной ошибки^ то из (38) легко получаем
AY Г (X)
—=-ГТхТ*х- (39>
Этот способ вычисления относится и к случайным и к систематическим ошибкам.
2. Простейший случай, когда интересующая нас величина являлась суммой двух или нескольких независимо измеряемых величин X1, X2,. . ., Xn, мы уже разбирали и установили в этом случае для вычисления случайных ошибок правило сложений дисперсий (22). Мы дадим еще правила вычисления ошибок для случая произведения и частного.
Если F=X1X2X3, то
O2^(Z1X2C23)2 + {X1Xf1) + (X2X3Oj1)2. (40)
Аналогично вычисляются погрешности для большего числа сомножителей.
Если У=^гЦ то
A2
'-Xt+[XiJ
2 I,- («)
Относительные ошибки для случаев (40) и (41) выглядят одинаково
2 2 2 2
Yt-Xi + Xi + Xf (42)
и аналогично
2 2 2
Y* - Xl + Xf (43)
г Соотношение (38) может оказаться неверным, если мы находимся вблизи экстремума У, где /' (х) обращается в нуль.
56
Пользуясь обозначениями дифференциального исчисления, можно ошибку функции Y от переменных X1, X2, . . ., Xn представить в виде
Формулы (40) и (44) сохраняют свой вид, если вместо ошибки а мы возьмем среднеквадратичные ошибки Sn или среднеарифметические ошибки rn. В общем виде
W-V Z hrr «<)• («>
Может возникнуть вопрос, как правильнее вычислять среднеарифметическое значение и погрешность результата в случае косвенных измерений? Если y=f (х) и измерения дают нам ряд значений xit то можно поступить двояким образом:
4\ - 2х*
1) вычислить х =—— и, подставив это значение в уравнение # = / (х), получить y — f(x)\
2) для каждого из значений х{ вычислить (х4), а затем
