Элементарные оценки ошибок измерений. - Зайдель А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
S о
->7-
В большинстве случаев целесообразнее пользоваться величиной $, а не г. В первую очередь потому, что, поль-
зуясь стандартной ошибкой s, легче определять доверительные вероятности, так как для этого имеются специальные таблицы. Известным преимуществом средней арифметической ошибки г является то, что ее вычислять несколько проще, чем s. Далее будут указаны удобные способы вычислений, практически устраняющие эту трудность. Разумеется, при большом значении п вообще безразлично, какой из ошибок пользоваться, так как между ними существует соотношение (16). При малом п по причийе, указанной выше, следует всегда пользоваться стандартной ошибкой или коэффициентом вариации.
Если пользоваться и при малом п средней арифметической ошибкой, то правильнее ее вычислять не по обычной формуле (13), а по соотношению
При большом п различие, даваемое этими двумя формулами, очень невелико.
4. Закон сложения случайных ошибок
Пусть наша измеряемая величина Z является суммой (или разностью) двух величин X и У, результаты измерений которых независимы. Тогда, если s|, и s* — дисперсии величин X, Y и Z, то можно доказать, что sl — s^ + s^ или
Если Z является суммой не двух, а большего числа слагаемых, то закон сложения ошибок будет таким же, т. е. средняя квадратичная ошибка суммы (или разности) двух (или нескольких) независимых величин равна корню квадратному ив суммы дисперсий отдельных слагаемых*
30
Это чрезвычайно важное обстоятельство, и необходимо твердо помнить, что для нахождения суммарной ошибки нужно складывать не сами ошибки, а их квадраты.
Разумеется, если мы вычислили не средние квадратичные ошибки s или а, а средние арифметические ошибки г или р, то закон сложения для этих ошибок будет тот же, например
P*«v/p|+P*- (19)
Из закона сложения ошибок следуют два чрезвычайно важных вывода. Первый из них относится к роли каждой из ошибок в общей ошибке результата. Он состоит в том, что значение отдельных ошибок очень быстро падает по мере их уменьшения. Поясним сказанное примером: пусть X и Y — два слагаемых, определенных со средними квадратичными ошибками Sx и sy, причем известно, что sv в два раза меньше, чем Sx. Тогда ошибка суммы (Z=X + Y) будет
2 2,2 2 , / Sx V
Откуда
S9SZ 1.1*,,
Иначе говоря, если одна из ошибок в два раза меньше другой, то общая ошибка возросла за счет этой меньшей ошибки всего на 10%, что обычно играет очень малую роль. Это означает, что если мы хотим повысить точность измерений величины Z, то нам нужно в первую очередь стремиться уменьшить ту ошибку измерения, которая больше, т. е. ошибку измерения величины X. Если мы оставим точность измерения X неизменной, то, как бы мы ни повышали точность измерения слагаемого У, нам ае удастся уменьшить ошибку конечного результата измерений величины Z более чем на 10%.
Этот вывод всегда нужно иметь в виду, и при повышении точности измерений в первую очередь уменьшать ошибку, имеющую наибольшую величину. Конечно, если слагаемых много, а не два, как в нашем примере, то и малые ошибки могут внести заметный вклад в суммарную ошибку.
Следующий вывод, вытекающий из закона сложения ошибок, относится к определению погрешности среднего
39
арифметического. Мы уже говорили, что среднее арифметическое из ряда измерений отягчено меньшей ошибкой, чем результат каждого отдельного измерения. Сейчас этот вывод может быть записан в количественной форме. Пусть xlt х2, х3ч. . хп — результаты отдельных измерений, причем каждое из них характеризуется одной и той же дисперсией s2. Образуем величину у, равную
п
Л_ х1 , х2 . хп (20)
Дисперсии этой величины Sy в соответствии с (18) определяются как
sf,= ц2'+ „2 + ••¦ + И2 — II* — » * ( }
Но у, по определению, это среднее арифметическое X из всех величин xf, и мы можем написать
s«=ss=~k- (22)
Средняя квадратичная погрешность среднего арифметического равна средней квадратичной погрешности отдельного результата, деленной на корень квадратный из числа измерений.
Это фундаментальный закон возрастания точности при росте числа наблюдений. Из него следует, что, желая повысить точность измерений в 2 раза, мы должны сделать вместо одного четыре измерения, чтобы повысить точность в 3 раза, нужно увеличить число измерений в 9 раз, и, наконец, увеличение числа наблюдений в 100 раз приведет к десятикратному увеличению точности изме рений
Разумеется, это рассуждение относится лишь к измерениям, при которых точность результата полностью определяется случайной ошибкой В этих условиях, выбрав п достаточно большим, мы можем существенно уменьшить ошибку результата. Такой метод повышения точности сейчас широко используется, в особенности при измерении слабых электрических сигналов.
40
Рассмотрим снова пример со взвешиванием.
Допустим, что 0.05 г — средняя квадратичная ошибка одного взвешивания, и мы по-прежнему взвешиваем 100 образцов, кладя на весы каждый раз только один.
В соответствии с изложенным погрешность определения суммарного веса этих образцов будет
: V^*? + *| +
I о2 •
