Элементарные оценки ошибок измерений. - Зайдель А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
60
чем та, которая может быть достигнута при применении соотношения F=X1X2X3, т. е. без учета ошибок, допущенных при изготовлении параллелепипеда. Эта ситуация совершенно аналогична описанной нами, когда речь шла о роли систематических и случайных ошибок. Мы тогда указывали, что нет особого смысла стремиться сделать случайную ошибку значительно меньше, чем та систематическая ошибка, которая определяется классом точности измерительного устройства. Совершенно так же нет смысла добиваться, чтобы ошибка измерений была
0 12 3 4 5 6?
Рис. 9. Измерение длины при неровной поверхности.
меньше погрешности, определяемой той схематизацией, которая принята при наших измерениях. В самом деле, любая формула, устанавливающая количественную связь между физическим величинами, является некоторой математической моделью, которая в действительности удовлетворяется с тем или иным приближением.
В нашем примере не были учтены отклонения утуїоа параллелепипеда от 90° и его поверхности от плоскости. Нетрудно написать более сложную формулу для объема с учетом этих обстоятельств. Но такая формула всегда будет лишь некоторым приближением к действительности, и точность наших измерений должна быть согласована с точностью принятой модели и ее соответствия реальным свойствам измеряемого объекта. Оценку необходи-
ма
мой точности следует делать в результате тщательного анализа условий опыта и факторов, влияющих на конечный результат.
12. Учет систематической и случайной ошибок
Ранее мы говорили, что измерения следует организовать так, чтобы погрешность результата целиком определялась систематической ошибкой измерений, которая обычно задается погрешностью измерительного прибора. Для этого рекомендовалось провести такое число измерений, чтобы случайная ошибка результата была незначительна по сравнению с систематической ошибкой.
Однако не всегда можно осуществить необходимое число измерений. Этому может препятствовать высокая стоимость измерений, а для изменяющихся со временем величин иногда процесс измерения оказывается слишком длительным, и мы просто не успеваем произвести достаточное число измерений.
В результате часто приходится мириться с положением, когда систематическая и случайная ошибки измерений близки друг к другу и они обе в одинаковой степени определяют точность результата. К сожалению, в этом случае трудно дать достаточно строгое определение суммарной ошибки измерений.
Когда мы имеем дело только с ошибкой прибора, то указывая, как в примере с миллиамперметром (стр. 16), ошибку +0.75 ма, мы, естественно, не зная свойств данного прибора, ничего не можем сказать о том, какова вероятность сделать ошибку+0.2 или —0.3 ма.Мы знаем только верхнюю границу возможных ошибок. Если к такой систематической ошибке присоединяется случайная, то мы, очевидно, также почти ничего не можем сказать о вероятности появления ошибок различной величины, но можем оценить значения суммарных ошибок.
Действительно, если величину систематической ошибки обозначить б, а дисперсию измерений — а2, то в качестве верхней границы суммарной ошибки 2 мы можем принять
2 = 5 + 2с. (46)
Действительно, с вероятностью более 0.95 мы можем утверждать, что результаты измерений не будут отличаться от истинного значения на величину 2.
Такое правило сложения, естественно, можно распространить на систематические ошибки любого происхождения.
Подчеркнем еще раз, что вопрос о сложении систематических и случайных ошибок актуален только в том случае, когда одна из них не более чем в несколько раз превышает другую. В противном случае в качестве меры погрешности измерения следует указывать только большую ошибку.
Отметим, что, не имея строгого решения, вопрос о правилах сложения систематической и случайной ошибок решается разным образом.
Иногда рекомендуют вообще отказаться от нахождения суммарной ошибки и давать в качестве меры погрешности измерений две ошибки — систематическую и случайною.
Однако, чтобы воспользоваться результатом измерений, нам, как иравило, нужно знать общую его погрешность вне зависимости от аричин, ее породивших. Поэтому приходится каким-то образом комбинировать систематическую и случайную ошибки для получения единой числовой характеристики погрешности измерений.
Одно из возможных правил нахождения такой суммарной ошибки состоит в том, что мы полагаем систематическую ошибку распределенной также по нормальному закону и считаем, что указанная величина этой ошибки б соответствует значению систематической ошибки, равному утроенному значению среднеквадратичной ошибки.
В этом случае суммарную ошибку нужно иисать так;
St= v/52-J- 9<j2. (46')
Погрешности E мы приписываем доверительную вероятность 0.997. Легко показать, что различие, даваемое формулами (46) и (46'), невелико.
Практически, так как мы не знаем истинного закона распределения систематических ошибок, можно пользоваться любой из них для ориентировочных оценок суммарной погрешности.
63
Таблица 5
Глубина проникновения пули
13. О способе наименьших квадратов
Очень часто исследуемая величина меняется с изменением условий опыта, и задача измерений состоит в нахождении функциональной зависимости, которая наилучшим образом описывает закон изменения интересующей нас величины.
