Элементарные оценки ошибок измерений. - Зайдель А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Среднее арифметическое
X1 + х2 + . •. + хп X =--- (52)
можно представить в более удобном для вычислений виде: выберем произвольное число х0, близкое к х. Тогда выражение, определяющее х, можно преобразовать:
[gp + (*1 ~ *о)1 + fco + (*2— хо)\ + --- + 1*о+(*п — хо)]
п
. (д-j - Ч) + (? — *о) + ... + (хп — хь) = Ч +-~-» (53)
величины (х.—х0) — малые числа, так как X0 мы выбрали близким к х. Поэтому суммирование и вычисление среднего существенно облегчается. В качестве примера выберем ряд измерений отрезка длины базиса геодезической съемки, выполненных чрезвычайно тщательно (табл. 6).
Вычисления делаются еще более простыми, если обратить внимание на то, что первые шесть значащих цифр (146.308) во всех измерениях одинаковы.
От измерения к измерению меняются только последние две цифры. Очевидно, что при вычислении среднего арифметического, а также ошибок первые шесть цифр можно
63
Таблица 6 Обработка измерений геодезического базиса
п с, m x х0 = 60, xt - x0 Ui - x0)2
1 2 3 'л ь 6 7
1 2 3 4 5 6 7 8 9 IO X 146.30876 146.30864 146.30856 146.30853 146.30850 146.30862 146.30887 146.30862 146.30879 146.30873 76 64 56 53 50 62 87 62 79 73 + 16 + 4 - 4 - 7 -10 + 2 +27 + 2 + 19 +13 + 6 - 6 -14 —17 -20 - 8. + 17 - 8 + 9 + з 256 16 16 49 100 4 729 4 361 169 36 36 196 289 400 64 289 64 81 9
Сумма 62 = бо + Т5= 66.2; +62 Г = 70 — -38 38 = 66.2; X 1704 = 146.30* 1464 662.
не принимать во внимание, учтя их только в конечном результате.
Последние две цифры даны в третьей колонке. Их мы пока можем рассматривать как результаты измерений х. и для них будем проводить вычисления. За X0 принимаем округленное число, кажущееся нам наиболее близким к среднему арифметическому. По-видимому, таким числом является 146.30860 (х0=60).
Итак, полагаем X0= 146.30860. В четвертой колонке табл. 6 выписаны разности (х^—х0), сумму которых легко сосчитать даже в уме. Среднее арифметическое вычисляется теперь с помощью суммирования чисел этой колонки совсем легко. Оно равно 146.308662 м (заметим, что для среднего арифметического указано на один десятичный знак больше, чем дано в результатах отдельных измерений). Такой прием вычислений позволил нам dne-рации с восьмизначными числами заменить операциями с двухзначными. Это значительно экономит время, затрачиваемое на расчеты.
Для контроля правильности вычислений удобно выбирать другое, несколько отличное значение х0, обозна-
69
ченное х0, равное, например, 146.30870. В пятой колонке приведены разности (xt.—х^), а внизу их сумма. Если вычисления верны, то значение X1 разумеется, получается одним и тем же при использовании чисел как четвертой, так и пятой колонок.
2. Вычисление ошибок
Приемы вычисления ошибок мы проиллюстрируем на примере тех же измерений длины, представленных в табл. 6.
Вычисление средней квадратичной погрешности проводится просто, если сделать несложное преобразование формулы (10). Напишем выражение для дисперсии, в котором выполним возведение в квадрат:
, І (* - *«>' (** - + g») + ... + (а> - 2ххп + 4) 5"~ п — \ ~~ п - 1 —
п& -х\ + х\ + ... +xl 2х fa +X2 + ... + хп) п — 1 ' п — 1 п — 1 *
но
X1 + X2 + . . . + Xn
есть среднее арифметическое %. Подставляя это значение я, после несложных преобразований получаем
(a!+ai+..,+4)-^+^+ra-+^
4 =-—і-. (54)
Нетрудно показать, что если мы введем сюда #0, т. е. за меним х. на х0+(х4—х0), то окончательно получим
(s0 _ ^)2+... + (^-^)2- п
\(хъ-х1) + ... + {хь-хи)\*
Если X0 выбрано так, что (х0—-xf) имеет не более одной-двух значащих цифр, то вычисления не представляют тРУДа> Их легко производить в уме, однако лучше поль-
70
зоваться таблицами квадратов и квадратных корней, данных в Приложении (табл. VI—VIII).
Контроль правильности вычислений также удобнее всего проводить, задавшись двумя несколько различными значениями хв и проделав вычисления для каждого из них. Разумеется, окончательные результаты должны совпасть.
Для подсчета ошибки в колонках 6 и 7 табл. 6 приведены квадраты величин (х,—х0)2 и (х,—X0)2, а внизу — суммы этих квадратов.
Для вычисления Sn воспользуемся значением полученных сумм
(62)2
1704 -
^2 =-а— -147.
«/r/ (38)2
1464 - —
Таким образом, оба значения s% совпалш
При большом числе измерений можно значительно облегчить работу, сгруппировав результаты в определенном порядке.
Удобнее всего расположить их в порядке возрастания величин х4. Для примера возьмем ряд из пятидесяти наблюдений, в результате которых были получены следующие значения измеряемой величины: 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, причем 125 наблюдалось два раза, 126 — три, 127 — девять раз, и т. д.
Расположим наши результаты и количество наблюдений каждого из них (к) так, как это показано в первой и второй колонках табл. 7. Дальнейший порядок расчетов виден из таблицы.
Проделав вычисления для двух значений х0 (128 и 129), мы видим, что оба полученных значения х и s совпали.
Это обычно является достаточной гарантией правильности вычислений.
71
Табл ица 7
Обработка большого ряда наблюдений с помощью сгруппированных данных
