Элементарные оценки ошибок измерений. - Зайдель А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
или
P (х — Ax < X < X + Ax) = а, (15')
Вероятность а носит название доверительной вероятности, или коэффициента надежности. Интервал значений от X—Дх до Ax называется доверительным интервалом.
Выражение (15) означает, что с вероятностью, равной а, результат измерений не выходит за пределы доверительного интервала от х— Ax до х+Ах. Разумеется, чем большей надежности мы требуем, тем большим получается соответствующий доверительный интервал, и наоборот, чем больший доверительный интервал мы задаем, тем вероятнее, что результаты измерений не выйдут за его пределы.
Мы пришли к очень важному заключению: для характеристики величины случайной ошибки необходимо задать два числа, а именно величину самой ошибки (или доверительного интервала) и величину доверительной, вероятности. Указание одной только величины ошибки без указания соответствующей ей доверительной вероятности в значительной мере лишено смысла, так как при этом мы не знаем, сколь надежны наши данные. Знание доверительной вероятности позволяет оценить степень надежности полученного результата.
Необходимая степень его надежности опять-таки задается характером производимых измерений.
Естественно, что в этом отношении к деталям мотора самолета предъявляются более жесткие требования, чем
3*
35
к лодочному мотору, а к последнему значительно большие, чем, скажем, к ручной тачке.
Более высокая степень надежности, требуемая при ответственных измерениях, означает, что при их производстве нужно выбирать большой (в долях а) доверительный интервал. Иначе говоря, для получения той же величины ошибки (Дж) следует производить измерения с большей точностью, т. е. нужно тем или иным способом уменьшить в соответствующее число раз величину а. Одна из возможностей такого увеличения состоит в многократном повторений измерений (см. стр. 40).
При обычных измерениях можно ограничиться доверительной вероятностью 0.9 или 0.95.
Для измерений, по условиям которых требуется чрезвычайно высокая степень надежности, иногда задают доверительную вероятность 0.999. Большая величина доверительной вероятности в подавляющем большинстве измерительных задач не требуется.
Удобство применения стандартной ошибки в качестве основного численного выражения погрешности наблюдений заключается в том, что этой величине соответствует вполне определенная доверительная вероятность, равная 0.68. (Мы, разумеется, здесь и дальше полагаем, что ошибки распределены по нормальному закону). Для любой величины доверительного интервала по формуле Гаусса может быть рассчитана соответствующая доверительная вероятность. Эти вычисления были проделаны, и их результаты сведены в табл. I, помещенной в Приложении.
Приведем примеры пользования табл. I.
Пусть для некоторого ряда измерений мы получим ?=1.27, 0=0.032. Какова вероятность того, что результат отдельного измерения не выйдет за пределы, определяемые неравенством 1.26 < X1 < 1.28?
Доверительные границы нами установлены в ±0.01, что составляет (в долях о) 0.01 : 0.032=0.31.
Из табл. I находим, что доверительная вероятность для е=0.3 равна 0.24.
Иначе говоря, приблизительно 1/4 измерений уложится в интервал ошибок +0.01. Определим теперь, какова доверительная вероятность для границ 1.20 < < я#. <1.34. Значение этого интервала, выраженное в долях а, будет е=0.07 : 0.032»2.2. По табл. I находим
36
значение а для е=2.2, это будет 0.97. Иначе говоря, результаты приблизительно 97% всех измерений будут укладываться в этот интервал.
Поставим теперь другой вопрос: какой доверительный интервал нужно выбрать для тех же измерений, чтобы примерно 98% результатов попадали в него? Из табл. I находим, что значению а=0.98 соответствует значение 8 = 2.4, следовательно, ае=0.032•2.4 «0.077 и указанной доверительной вероятности соответствует интервал 1.193 < X < 1.347, или, округляя, 1.19 < х < 1.35; иногда этот результат записывают в виде я=1.27+0.08 с доверительной вероятностью 0.98. Итак, для нахождения случайной ошибки нужно определить два числа — доверительный интервал (величину ошибки) и доверительную вероятность. Средней квадратичной ошибке а соответствует доверительная вероятность 0.68, удвоенной средней квадратичной, ошибке (2а) — доверительная вероятность — 0.95, утроенной (Зо) — 0.997.
Для других значений ошибок доверительная вероятность определяется по табл. I.
Приведенные здесь три значения а полезно помнить, так как обычно, когда в книгах или в статьях дается значение средней квадратичной ошибки, уже не указывается соответствующая ей доверительная вероятность. Если же мы помним три приведенных выше числа, то этого достаточно, чтобы ориентироваться в оценке надежности измерений, если нам известна их средняя квадратичная погрешность, или коэффициент вариации.
Наряду со среднеквадратичной ошибкой иногда пользуются средней арифметической ошибкой, вычисляемой по формуле (13). При достаточно большом числе наблюдений (практически для п > 30) между г и s существуют простые соотношения
5=1.25г или r = 0,80s, (16)
строго говоря, эти соотношения верны только для о и р, но не для s и г. Для малых п отношение s/r существенно отличается от предельного значения, причем, как правило,
