Элементарные оценки ошибок измерений. - Зайдель А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Это естественно, так как с увеличением п Sn стремится к а.
Используя коэффициенты Стьюдента, мы можем переписать равенство (15) в виде
/>(*-*«^<*<* + U^) = «. (26)
Пользуясь этим соотношением и табл. II, легко определять доверительные интервалы и доверительные вероятности при любом небольшом числе измерений.
Дадим примеры применения этой таблицы. Пусть среднее арифметическое из 5 измерений будет 31.2. Средняя квадратичная ошибка, определенная из этих 5 измерений, равна 0.24. Мы хотим найти доверительную вероятность того, что среднее арифметическое отличается от истинного значения не более чем на 0.2, т. е. будет выполняться неравенство
44
31.0 < X < 31.4.
Значение tan найдем, подставив наши величины в формулу (25), тогда
0.2 . v/5 — 0.24 =1-86-
По табл. II находим для га = 5 при а = 0.8 ?0<8;5=1.5 и при а = 0.9 ^о.9; 5 = 2.1.
Вообще говоря, можно обычно удовлетвориться ответом, что доверительная вероятность для этого случая лежит между 0.8 и 0.9. Если нужно получить более точное значение, то вычислим пропорциональную часть, подобно тому, как это делается при применении таблиц
ЛОГарифмОВ. ДЛЯ ЭТОГО ВЫЧИСЛИМ раЗНОСТЬ ?о.9;5— ?о.8; 5=2=
= 0.6. Затем берем разность ?а;5 — ?0.8;5=1.86—1.5 = = 0.36. Нужную нам величину вычисляем из пропорции
Aa Cv» — *о.8: п
H "~ а1 *о.8; я — *0.9; и
откуда
0.36
Aa = 0.1 ?-?-:=0.06, и (Z = CIi + Aa = 0.8 + 0.06 = 0.86.
Таким образом, доверительная вероятность для этого случая получается равной 0.86.
Вычислим теперь, какова доверительная вероятность в случае 10 измерений при той же среднеквадратичной погрешности 0.24* й том же доверительном интервале 31.0—31.4. По формуле (25) определяем
0.2 . v/IQ '«ло== 0.24 ^2,6*
Из табл. II находим, что ближайшее меньшее значение
'«,и = 2-3 для A==s0-95
и ближайшее большее значение
^30 ==:2.8 для а = 0.98.
Пропорциональную часть найдем из соотношения
0.3
Да s . 0.03 U.02. Окончательно а=0.97.
45
6. Погрешность
определения погрешности
Если мы определяем Sn из очень большого числа измерений, то получаем величину, как угодно мало отличающуюся от своего предельного значения, — а. Но, когда п невелико, то Sn отягчена случайными погрешностями, очевидно, тем меньшими, чем больше п. Точно так же, как и для результатов измерений, существует закон распределения, дающий возможность установить довер тельную вероятность того, что
определенная нами из п измерений погрешность Sn будет отличаться от а в некоторое заданное нами число раз.
Для определения доверительного интервала, внутри которого находит ся а, можно воспользо-
Q _¦ — г—..... ваться приближенной фор-
5 10 15 20 25 ЗОЛ2 мулой
Иіе. 7. X2 распределение Оо , ° -. (21]
Ъ \/2(п— 1)
Здесь Osn — средняя квадратичная погрешность величины $п1 когда Sn вычислено из п измерений; вообще говоря, это выражение справедливо для гс, большего 30, но в случае грубых оценок его можно использовать и для меньших п.
Из (27) следует, что при га = 25 о,й=у<з, т. е. о определяется с точностью около 15°/0.
При п=50 точность определения о составляет около 10%.
Более строгое рассмотрение дает возможность верной оценки доверительного иигервала для о и ори малом числе измерений. Для этого мы определим величину у2 таким образом:
46
Закон распределения этой величины известен под названием ^-распределения, которое представлено графически на рис. 7. функция распределения х2 характеризуется асимметричностью, особенно сильной для малых п. Для больших п это распределение переходит в нормальное с дисперсией, определяемой формулой (27).
Доверительный интервал для о вычисляется с помощью таблицы, составленной для нормального распределения.
При более точных оценках доверительного интервала для а можно воспользоваться табличными значениями, составленными для ^-распределения.
Из выражения (28) следует
««—2^ (29)
Табл. III Приложения дает возможность определить значения Yi и Y2> удовлетворяющие условию
'(№<«)=«!. \
P (ТЛ >•) = «.. J (30)
Так как х2~РаспРеДеление асимметрично, то погрешности равной величины, но противоположного знака не равновероятны, как в случае нормального распределения.
Отсюда следует, что при условии Ct1=3Ct21 Yi^Y2» Обычно пользуются соотношением, написанным в виде
P (Ті»«<°<Т2*.)я=в- (31)
При выбранном значении а соответствующие значения Yi и Y2 находятся из табл. III.
Приведем два примера пользования этой таблицей.
1. Средняя квадратичная погрешность, определенная из 5 измерений, равна 2. Нужно вычислить доверительный интервал для а с надежностью 0.95. Из табл. III имеем для тг=5 и а=0.95 Yi=0.6 и Y2=2-9-
Для а можем написать неравенство, выполняемое с вероятностью 0.95:
0.6 . 2<о <2.9 . 2 или 1.2<с<5.7.
Мы видим, что границы, в которых лежит а, очень широки и асимметричны (интервал от 2 до 1.2 почти в пять раз меньше интервала от 2 до 5.7).
2. При 40 измерениях Yi=3O-S, Y2=al-3> и получаем для о неравенство
1.6<с<2.6.
Интервал значительно более узкий и почти симметричный. Бели пользоваться при п=>40 формулой (27), то получаем
