Элементарные оценки ошибок измерений. - Зайдель А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
X0 = 128 х^ = 129
Xi ь
(Xi — X0) h (Xi — X0) k (Xi — X0)2 ft і*» - x'Q) ft (Xi - x'oy
125 2 -3 - 6 18 -4 - 8 32
126 3 -2 - 6 12 -3 - 9 27
127 9 -1 - 9 9 -2 -18 36
128 15 0 0 О -1 -15 15
129 11 +1 +11 11 0 0 0
130 7 +2 +14 28 1 7 7
131 2 +3 + 6 18 2 4 8
132 1 + 4 + 4 16 3 3 9
Сум 50 _ + 14 + 112 _ —36 +134
ма
?="128+ FTT= 128.28? 128.3,
?' = 129 -gj= 128.28? 128.3, 142
12--5ЇГ *2 =-49-= 2.21;
362
5 = 49 =Л21, 5 = 1.49? 1.5; -*Лe -4=- ^0.2#
3. О точности вычислений
Точность обработки числового материала должна быть согласована с точностью самих измерений. Вычисления, произведенные с большим числом десятичных знаков, чем это необходимо, требуют лишней затраты труда и создают ложное впечатление
72
о большой точности измерений. В то же время, разумеется, не следует ухудшать результаты измерений, пользуясь излишне грубыми методами вычислений. Так, например, если точность измерений составляет около 1%, то для вычислений можно пользоваться логарифмической линейкой, позволяющей надежно отсчитывать три значащие цифры.
При измерениях, выполненных с точностью 1—0.1%, можно пользоваться четырехзначными таблицами логарифмов.
Во всех случаях нужно придерживаться следующего простого правила.
Ошибка, получающаяся в результате вычислений, должна быть примерно на порядок (т. е. в 10 раз) меньше суммарной ошибки измерений. При этом можно быть уверенным, что в результате- арифметических операций мы ощутимым образом не исказим нашего результата.
Поясним это правило на следующих примерах.
1. Для измерения электрического сопротивления провода измерена сила протекающего через него тока, оказавшаяся равной 27.3 ма, и падение напряжения на нем — 6.45 в. Измерительные приборы гарантировали точность измерения этих величин в 1%. Найдем величину сопротивления из закона Ома:
V 6.4J5 R = -у- = Q Q273 = 236.2637 ом,
так как V и / определены с точностью до 1%, то ошибка определения R несколько больше 1%. Поэтому вычисления целесообразно делать не точнее, чем до четвертого знака, и результат записать в виде 236.3 ом.
Оценка ошибки результата может быть сделана на том основании, что каждый из двух сомножителей V и 1/1 определен с точностью до 1%. Их- произведение вычисляется G точностью, несколько меньшей, но не худшей, чем 2%. Поэтому результат окончательно может быть записан в виде: #=236±4 ом. Доверительную вероятность для ошибки в данном случае определить нельзя, ибо указание погрешности прибора дает только верхний аредел ошибки, но не закон распределения ошибок для данного прибора.
2. Сопротивление провода определяется путем измере-цдя его длины и диаметра. Удельное сопротивление
73
известно с относительной точностью, значительно большей, чем измеряемые величины.
В результате 10 измерений длины Z и диаметра d получены /=25.323 мм, ^=0.12 мм, d=1.54 мм, sd—0.2l мм,
4/
Относительная среднеквадратичная погрешность Я будет определена из соотношения
s
2 s2
/?2 (^2)2 /2
Принимая во внимание, что = S(rf.rf) = 2s«j, имеем
R у \ № ) /2 •
Очевидно, что при окончательном подсчете ошибку измерения длины практически можно не учитывать. Коэффициент вариации измерений площади (квад-
рата диаметра) будет -~-==-^-a* 1.8°/0. Если мы ограничиваемся доверительной вероятностью 0.95, то табл. II дает для этого случая /^=2.3, и относительная погрешность среднего арифметического из наших десяти измерений будет
Ax 1.8%. 2.3
- /0--------- И.3%.
* ^10
Это ошибка, соответствующая доверительной вероятности 0.95.
Таким образом, R нужно вычислить с точностью, немного большей 1%, т. е. ограничиться третьей значащей цифрой.
В случае медного провода для комнатной температуры мы получим
R = 1.78 • 10-6 . = 2.42 . !О"* ом
с погрешностью 1.3%, или 3 •1O-6 ом (для доверительной вероятности 0.95).
74
4. Число
знаков при вычислении погрешностей
Мы знаем, что величина случайной ошибки Sn или гя, как и сами результаты измерений, подвержена случайным колебаниям.
Примеры, приведенные ранее (см. стр. 46—47), показывают, что даже при довольно большом числе измерений доверительные интервалы для а получаются боль-шие, т. е. величину ошибки мы всегда определяем достаточно грубо.
При 10 измерениях а определяется с погрешностью более 30%. Поэтому, как правило, следует в этом случае для а приводить одну значащую цифру, если она больше 3, и две значащие цифры, если первая из них меньше 4.
Например, если s10 получилось равным 0.523, то приводим одну цифру 5==0.5; если s10=O.124, то следует давать две значащие цифры: s=0.12.
При гс = 25 авп=у. Очевидно, что в этом случае hl г
смысла вычислять и приводить для а более двух значащих цифр, т. е. нужно писать s=2.3, а не 2.34 или s=0.52, а не 0.523.
Необходимые округления всегда следует делать, так как излишне большое число приводимых десятичных знаков создает ложное впечатление о большой точности результата.
IV. Заключение
В этой небольшой книжке мы рассмотрели основные приемы оценок ошибок измерений, используя некоторые результаты современных работ в данной области.
