Элементарные оценки ошибок измерений. - Зайдель А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Формула (56) обосновывается обычно так: «. . возьмем худший
случай, когда все частные погрешности (Ту— &Х{J будут иметь
одинаковые знаки».
Допустим, что у нас пять переменных. Тогда вероятності того, что все ошибки будут одного знака, составит (V2)4= Vie- При десяти переменных эта вероятность составит около l/50o» а вероятность того, что все ошибки будут одного знака и одновременно будут иметь максимальное значение, в указанных примерах практически равна пулю.
Зачем же нужны гакие завышенные оценки погрешностей? Очевидно, что они совершенно неправильно ориентируют студента, в значительной мере обесценивая качество выполненных им измерений.
Следует иметь в виду, что в отличие от ириращения функции (с которым иногда отождествляется погрешность измерений) для указания случайной погрешности измерений нужно задать не одно, а два числа — величину погрешности и доверительную вероятность, которой эта погрешность соответствует.
Часто последняя величина в явном виде не задается, но тогда необходимо указать, как и из какого числа наблюдений вычислялась погрешность.
s
s
Если вычислить погрешность функции по формуле (45), то доверительная вероятность для ДУ будет та же, что и доверительные* вероятности для величин AX4.
Именно потому, что формулы теории ошибок позволяют сосчитать не только величину ошибки (доверительный интервал),, но и доверительную вероятность, ими всегда следует пользоваться, совершенно исключив из употребления на всех стадиях обучения и практической работы правила, аналогичные сформулированным, в пунктах 3 и 4 настоящего раздела.
Пожалуй, следует остановиться на том, какую из ошибок надо вычислять — среднюю арифметическую либо среднюю квадратичную.
В лабораторных руководствах иногда формулируется правило, гласящее, что при большом п нужно вычислять величину 5, а приї малом — г. Легко видеть, что это правило нецелесообразно. Действительно, если п достаточно велико, то между г и s существует простое соотношение: г= 0.8 s.
Следовательно, в принципе безразлично, какую из двух ошибок вычислять, и следует пользоваться той, для которой расчеты проще, т. е. ошибкой г. Однако именно при малом числе наблюдений нужно пользоваться средней квадратичной ошибкой, для которой в этом случае легко определить доверительную вероятность, пользуясь таблицами Стьюдента. В то же время доверительная вероятность для среднеарифметической ошибки довольно сложным образом зависит от числа наблюдений, из которых эта ошибка подсчитана, и необходимые для соответствующих расчетов табличные данные, насколько нам известно, отсутствуют.
Нам кажется, что здесь отмечены все основные пункты, в которых адаптированная теория погрешностей расходится с правильной. По-видимому, вполне ясны недостатки адаптированной теории, а то, что она преподносится с первых шагов обучения и далеко не всегда дезавуируется -впоследствии, приводит иногда к прочному усваиванию ее аксиом будущими физиками, химиками и инженерами.
Нам представляется, что следует с самого начала пояснить студентам основные понятия теории вероятностей, случайных ошибок и закона их распределения, после чего сообщить готовые формулы, по которым подсчитываются ошибки, а также ознакомить их с таблицами интеграла вероятновтей и коэффициентами Стьюдента.
В необходимости отложить доказательство тех или иных формул до приобретения студентами соответствующих сведений по математике, на наш взгляд, ничего плохого нет.
Один из аргументов, который иногда выдвигается в защиту формулы (56), заслуживает более детального рассмотрения. В ряде случаев погрешность измерений задается не их случайными ошибками, распределенными по гауссовскому или близкому к нему закону, а погрешностью измерительного прибора, определяемой как его класс точности. Если случайные ошибки измерений меньше класса точности прибора, то именно последний определяет максимальное возможное расхождение между измеренным и истинным значениями интересующей нас величины. В этом случае класс точности будет определять максимальную ошибку, отпадает нё-
79
(Сходимость в многократных измерениях и выводе среднего зна~ чеаия, так как в пределах класса точности результаты отдельных измерений будут совпадать. При такой ситуации ошибку суммы двух величин можно определять как сумму ошибок обеих этих величин, или как удвоенный класс точности. Однако в данном случае речь идет скорее о систематических ошибках, к которым статистические закономерности можно применять лишь очень осторожно и далеко не всегда.
Известно, что если в силу тех или иных причин измерения двух переменных X1 и X2 не независимы, то ошибку функции этих переменных следует подсчитывать по соотношению
Здесь R — коэффициент корреляции, заключающийся в пределах — 1 < R < 1.
Для независимых случайных ошибок AX1 и ДX2 ?=0 и мы получаем формулу (45).
Вычисление коэффициента корреляции, на наш взгляд, не следует вводить в элементарный курс лабораторных измерений.
Здесь самое существенное научить студента обработке ре зультатов и правильной оценке случайных ошибок, а также внимательному изучению и исключению или учету систематических ошибок. По поводу необходимости применения формулы (56) приходилось слышать также следующее: в ряде случаев очень существенно определить измеряемую величину так, чтобы она ни в коем случае не превышала заданного значения. Для этого на первый взгляд представляется разумным, задав максимальные значения ошибок AX4-, получить максимальное приращение функции А У.
