Элементарные оценки ошибок измерений. - Зайдель А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Примером таких измерений является исследование зависимости сопротивления провода от его температуры,
плотности газа от давления, вязкости жидкости от температуры и т. п. В результате измерений мы получаем несколько значений измеряемой величины, которые можем считать координатами точек на плоскости.
Допустим, мы измеряем глубину (у) проникновения в преграду пули как функцию ее энергии (х). Результат измерений представлен в табл. 5 (х и у даны в условных единицах), а также точками на рис. 10. Нужно найти кривую, от которой данные точки меньше всего отклоняются. Простейший способ проведения такой кривой — соединить между собой все точки, как это сделано на рис. 10, пунктиром и считать эту ломаную искомой зависимостью. Однако из теоретических соображений можно считать, что углубление пули в препятствие прямо пропорционально ее энергии. Поэтому следует искать не какую-то функцию, лучше всего удовлетворяющую данным точкам, а прямую линию, менее всего уклоняющуюся от них. Если мы обозначим абсциссы точек, в которых производится измерение, xv а результаты измерений — у., то уравнение искомой прямой может быть записано в виде
у ess ах + Ьш
п
1 41 4
2 50 8
3 81 10
4 104 14
5 120 15
6 139 20
7 154 19
8 180 23
9 208 26
10 241 30
11 250 31
12 269 36
13 301 37
64
Коэффициенты уравнения, а и Ь, надлежит выбрать наилучшим образом. Разумеется, это требование не является вполне определенным. Мы здесь укажем лишь один метод проведения такой прямой, получивший назва-
Q ЮО Ж 300 X
Рис. 10. Прямая, проведенная по спосооу наименьшая квадратов.
ние способа наименьших квадратов. Он наиболее широко распрострапен, так как имеет во многих случаях существенные преимущества перед другими возможными методами. Для нахождения по способу наименьших квадратов уравнения искомой прямой поступим следующим образом: проведем ординаты точек уі до их пересечения
5 А. Н. Зайдель
65
с искомой прямой (рис. 10). Значение этих ординат буде* (ах.+Ъ). Расстояние по ординате от точки у{ до прямой равно (ах{+Ь—у4). Положим, что прямая будет наилучшей, если сумма квадратов всех расстояний (ах4+6—у^ имеет наименьшее значение. Минимум этой суммы ищется по правилам дифференциального исчисления, и в результате для определения а и Ъ получаются уравнения
п п п
п 2 а'У> - 2 j< 2Уі
(47)
п п п п
2*'2>< - 2j'2 її її
(48)
ті — число наблюдений. Суммирование производится по всем точкам. Подстановка численных значений по табл. 5 для нашего случая дает а=0.124, 6=0.7, и уравнение искомой прямой будет
0 = 0.124* + 0.7.
Заметим, что если энергия пули равна нулю, то она вообще не проникает в препятствие. Следовательно, более правильным было бы искать решение в виде
У = ах.
Однако внутри измеренного нами интервала энергий найденная нами прямая лучше удовлетворяет экспериментальным точкам, чем прямая, проходящая через начало координат. Теория дает возможность определить также дисперсию уклонения точек от прямой и дисперсию коэффициентов а и Ь. Если s\ — дисперсия точек, s\ и s\ — дисперсия коэффициентов а и 6, тогда
2* 2>
п 2 т*у* - 2 2 и<
(п — 2) п (п — 2)
(49)
{п —- 2) п
166
1
Для нашего случая это дает ^=4-10"3, s6=O.7. Разумеется, не всякая зависимость описывается уравнением прямой линии. Однако в ряде случаев можно путем несложных преобразований привести к линейной более
к
сложную зависимость. Так, например, если + то,
1
введя новую переменную Z = — , мы получим линейную
связь между у и z. Точно так же, если y=abx, логарифмируя, придем к линейной связи между X и Ig у. Поэтому, пользуясь линейными уравнениями, можно находить оптимальные функции в довольно большом числе важных случаев. Теория позволяет находить коэффициенты уравнений и в том случае, когда связь между измеряемыми величинами описывается более сложными функциями.
Следует подчеркнуть, что способ наименьших квадратов не может дать ответа на вопрос о том, какого вида функция лучше всего аппроксимирует данные экспериментальные точки.
Вид интерполирующей функции должен быть задан на основании каких-то физических соображений. Метод наименьших квадратов позволяет нам лишь выбрать, какая из прямых или какая из экспонент или парабол является лучшей прямой, лучшей экспо-нентой или лучшей параболой.
Вообще говоря, можно утверждать, что чем больше произвольных параметров содержит интерполирующая функция, тем лучше она аппроксимирует данные точки. Поэтому задача оптимальной интерполяции, по-видимому, должна ставиться так: подобрать наилучшую интерполирующую функцию при наименьшем числе параметров. Очевидно, что в общем виде эта задача не решается и выбор вида функции обычно осуществляется либо на основании физических соображений, либо рядом эмпирических проб.
Отметим, что вычисления по способу наименьших квадратов достаточно громоздки. Существуют хорошо разработанные схемы, облегчающие вычисление и контроль. Они описаны в специальных руководствах.
67
III. Приемы вычислений
I. Вычисление среднего арифметического
При вычислении среднего арифметического нет необходимости суммировать все результаты измерений. Лучше поступать следующим образом.
