Элементарные оценки ошибок измерений. - Зайдель А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Однако при реальных измерениях наибольшее значение .AX1 не может быть определено. Можно выбрать ошибки АХ{ так, чтобы им соответствовала достаточно большая доверительная вероятность.
Для этого обычно достаточно выбрать AXt=2o, но ничто по мешает в особо ответственных случаях положить AX4=За или AXt=5at, и т. д.
При этом доверительная вероятность для ошибки ДУ, определенной по формуле (56), будет, вообще говоря, больше, чем та, которая задана для AX4-. Однако эту вероятность мы не можем оценить простыми способами. Поэтому целесообразно пользоваться формулой (45) и задавать значения AX{ так, чтобы получилось удовлетворяющее нас значение доверительной вероятности для ДУ.
Наконец, последний момент, который, как нам кажется, следует освещать при обучении, — со сколькими знаками нужно вычислять и Приводить погрешность.
Очевидно, что величина ошибки должна вычисляться с той точностью, с которой она может быть определена в процессе измерений. Последний зависит от числа измерений, и на это обстоятельство следует указать совершенно определенно.
80
Многочисленные дискуссии, которые велись после выхода предыдущих изданий этой книжки, показали, что не все преподаватели согласны с предложенной здесь схемой изложения материала, а также с его отбором. Главный аргумент против — трудности, связанные порой с ведостаточной подготовкой учащихся и малым числом часов, которые могут быть отведены на изучение предмета.
Хорошо известно, что теория ошибок достаточно сложна для малоподготовленного читателя и усвоение ее требует известной вдумчивости и затраты труда, однако, вероятно, гораздо меньшего, чем необходимо для понимания основ дифференциального исчисления. Можно думать, что преодоление трудностей первоначального изучения с избытком окупится полученной от пего пользой.
Нам представляется, что усвоение изложенных выше правил должно не только научить верной оценке ошибок, но и оказаться полезным при последующем изучении строгой теории измерительного процесса.
6 A. H. Зайдель
Основные формулы и таблицы
Приложение
1. Среднее арифметическое
величин хи хг, . . ., хп
^ X1 + ж2 -f- . . . + Xn ^ 1_
п п #
2. Абсолютная погрешность
Aa;f- = X — xit
или
AXi = X—Xf. (*)
Здесь х — среднее арифметическое значений измеряемой величины, X — ее истинное значение. Так как х обычно неизвестно, то для определения погрешности служит формула (*).
3. Относительная погрешность
Axj Ахі
д.Г и =-— , или Ахлт„ = ~ .
4. Средняя квадратичная ошибка единичного результата при п измерениях
(X-X1)^(X-X2)*+ ... +(х-хХ п~ 1
5. Выборочная дисперсия
/г — 1
6. Генеральная дисперсия
2 і- 2
о = lim sn, п->са
82
7. Коэффициент вариации
а
w = ~. 100% (для генеральной совокупности), Sn
w„ = — •100% (для выборочной совокупности),
8. Среднеарифметическая ошибка (выборочная)
2i*-*<i
Гп~~ п ~ п
9. Генеральная среднеарифметическая ошибка
P = lim гп.
«->СО
10. Связь между среднеарифметической и средне квадратичной ошибками:
P = 0.80а; о = 1.25р.
11. Доверительная вероятность для интервалов кх=ко
Ax а 2а За а 0.68 0.95 0.997.
12. Закон сложения дисперсий:
если 2= X + У, то ^ = s2r + sj
13. Ошибка среднего арифметического
14. Коэффициент Стьюдента
\l~nAx
15. Закон сложения независимых случайных ошибок:
если Y = X1 . X2 ¦¦Xn
то
(«:у_(4?)Г+..+(^у:
если у«л •f ?, где /4 и /у постоянные, TO ДУ = /1 . ДА.
6* 83
16. Случайная ошибка функции:
если У г= f (X), ТО ДУ«/' (X)AX
*Y Г (X) Y ~ f(X)
АХ\ если y = f(Xlt X2, .... Xn),
ТО
17. Способ наименьших квадратов
^ = ад- -J- 6. п п п
п 2 - 2 2
2 »
2** 2^- ' 21
•г-
2 ** (2«'') (" 2 - 2 2 у--
и / п \2'
(тг — 2) і (H
«г 2 ^
_і_
2'? 2',
84
ФОРМУЛЫ, УПРОЩАЮЩИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
1. Среднее арифметическое «
здесь х0 — произвольное число, близкое К X. 2. Среднеквадратичная ошибка: а) единичного измерения
2 (го-*.)2-
2 (хо — хі)
П — 1
б) среднего арифметического
(***)
S Tl W
2 (X0 - Xi)* -
2г(*о ~ х>)
п —\--— • (****)
Таблица J
Доверительные вероятности а для доверительного интервала, выраженного в долях
Ax
средней квадратичной ошибки є = —
С
2 Г ~~2
Функция Лапласа: 26(e) = -=: I <? аг = а
v2ic J
?
О 0 1.2 0.77 2.6 0.990
0.05 0.04 1.3 0 80 2.7 0.993
0.1 0.08 1.4 0.84 2.8 0.995
0.15 0.12 1.5 0.87 2.9 0.996
0.2 0.16 1.6 0.89 3.0 0.997
0.3 0.24 1.7 0.91 3.1 0.9981
0.4 0.31 1.8 0.93 3.2 0.9986
0.5 0.38 1.9 0.94 3.3 0.9990
0.6 0.45 2.0 0.95 3.4 0.9993
0.7 0.51 2.1 0.964 3.5 0.9995
0.8 0.57 2.2 0.972 3.6 0.9997
0.9 0.63 2.3 0.978 3.7 0.9998
1.0 0.68 2.4 0.984 3.8 0.99986
1.1 0.73 2.5 0.988 3.9 0.99990
4.0 0.9999.4
85
Коэффициенты Стьюдента t,
Таблица II
0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.95 0.98 0.99 0.999
0.73 1.00 1.38 2.0 3.1 6.3 12.7 31.8 63.7 636.6
,62 0.82 1.06 1.3 1.9 2.9 4.3 7.0 9.9 31.6
.58 .77 0.98 1.3 1.6 2.4 3.2 4.5 5.8 12.9
.57 .74 .94 1.2 1.5 2.1 2.8 3.7 4.6 8.6
.56 .73 92 1.2 1.5 2.0 2.6 3.4 4.0 6.9
.55 .72 .00 1.1 1.4 1.9 2.4 3.1 3.7 6.0
