Элементарные оценки ошибок измерений. - Зайдель А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
о 2
= ^0.2.
v/2 (п - 1) )/78
47
Доверительной вероятности 0.95 соответствует погрешность 2а,,, и для о можно написать с вероятностью 0.95:
1.55 <о< 2.45.
Как видим, в этом случае оценки, сделанные по строгим и приближенным формулам, практически не различаются между собой.
Легко показать, что при 5 или 10 измерениях это различие будет весьма значительно.
7. Необходимое число измерений
Для уменьшения случайной ошибки результата, как мы уже знаем, могут быть использованы два пути: улучшение точности измерений, т. е. уменьшение величины а, и увеличение числа измерений, т. е. использование соотношения
а
Vn
Сейчас мы будем говорить только о последнем приеме, считая, что все возможности совершенствования техники измерений уже использованы. Пусть систематическая ошибка измерений, определяемая классом точности прибора или другими аналогичными обстоятельствами, будет б.
Известно, что уменьшать случайную ошибку целесообразно только до тех пор, пока общая погрешность измерений не будет полностью определяться систематической ошибкой. Для этого необходимо, чтобы доверительный интервал, определенный с выбранной степенью надежности, был бы существенно меньше величины систематической ошибки. Иначе говоря,
Ьх Щ 5. (32)
Разумеется, нужно условиться, какой степени надежности мы требуем и какую величину для случайной ошибки следует считать допустимой, т. е. какое соотношение величин Дж и 5 можно считать удовлетворяющим условию (32). Строгую оценку этого сделать трудно, однако можно
48
исходить из того, что, как правило, нет необходимости определять общую ошибку с точностью, большей 10%.
Это означает, что в том случае, когда kx^j^, условие (32) можно считать выполненным. Практически обычно можно удовлетвориться гораздо менее жестким требованием
ь ь
Ax < -дг , или даже Д.т<-у.
Надежность а, с какой мы хотим установить наш доверительный интервал, в большинстве случаев не должна превышать 0.95, хотя иногда требуются и более высокие значения а. Для оценки необходимого числа измерений в Приложении приведена табл. IV, в которой Ax дано в долях средней квадратичной ошибки. Приведем примеры пользования этой таблицей.
1. Измеряется диаметр шарика с помощью микрометра, имеющего погрешность в 1 мк. Средняя квадратичная погрешность единичного измерения равна 2.3 мк. Сколько измерений нужно проделать, чтобы получить ошибку не более 1.5 мк с надежностью 0.95?
8 0 5
Положим A#=-7p=0.5 мк, Sn = 2.3 мк, Д#=у^5 =
=0.22«. Из табл. IV находим в колонке а=0.95: для е==0.3 га=46 и для е=0.2 п=100. Составив соответствующую про-
Ax
порцию, легко рассчитать, что для є = —= 0.22 п «57.
Иначе говоря, нужно сделать около 60 измерений, чтобы случайная ошибка изменила общую погрешность результата измерений не более чем в полтора раза.
Интересно посмотреть, сколько нужно сделать измерений, если мы наложим еще менее жесткое требование, а именно чтобы систематическая и случайная ошибки были примерно равны по величине? В этом случае полагаем Аж=б=0.45 s и из той же табл. IV находим (для сс=0.95) п»23.
Мы видим, что в обоих этих примерах число необходимых измерений получалось хотя и большое, но такое, которое может быть выполнено.
2. Возьмем другой пример.
Коэффициент вариации w для некоторого измерения составляет 1 %. Систематическая ошибка измерений
4 А. Н. Зайдель
49
6=0.1%. Сколько измерений нужно проделать, чтобы случайная ошибка практически не играла роли?
Так как все ошибки выражены в относительных единицах, то
Дд:отн Ax 0.05 W 5 1 '
Из табл. IV находим для той же доверительной
Ax
вероятности а = 0.95 и для -у-=0.05 п = 1500(!).
Очевидно, что практически такое число измерений обычно проделать нельзя.
Из этих примеров можно сделать заключение, что увеличением числа измерений можно устранить влияние случайной ошибки на результат только в том случае, если средняя квадратичная погрешность не более чем в несколько раз превосходит систематическую ошибку. Реально это возможно, если а^5б. При больших значениях а для существенного уменьшения роли случайной ошибки уже требуются сотни и тысячи, а иногда десятки тысяч измерений, как это видно из табл. IV. В таких случаях для уменьшения погрешности результата необходимо радикально менять методику измерений с тем, чтобы уменьшить величину случайной ошибки сг.
8. Обнаружение промахов
Если мы делаем ряд одинаковых измерений, подверженных случайным ошибкам, то в этом ряду могут встретиться измерения и с очень большими случайными ошибками. Однако, как мы уже знаем, большие ошибки имеют малую вероятность, и если среди результатов измерений встретится одно, имеющее резко отличное от других значение, то мы будем склонны приписать такой результат промаху и отбросить его как заведомо неверный. Приведем пример ряда измерений некоторой длины. По данным табл.4 находим среднее арифметическое 7=257.11, если учитывать все результаты, в том числе первого и десятого измерений. Но результат десятого измерения — 266.0 — явный промах: вместо 5
Таблица
Результаты измерения длины
