Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
2) «два попадания» и «два промаха» при двух выстрелах;
3) «выпадение двух», «выпадепие трех» п «выпадение пяти» очков при однократном бросании игральной кости;
4) «появление туза», «появление десятки» и «появление карты с картинкой» (короля, дамы или валета) при вынимании одной карты из колоды;
5) «появление трех» и «появление более трех» очков при бросании игральной кости;
6) искажение «ровно пяти», «ровно двух» п «не менее шести» символов при передаче сообщения, состоящего из 10 символов.
Вспомним, что к полной группе событий можно было добавлять любые другие события, не нарушая полноты. Что касается несовместных событий, то из них можно выбрасывать любые (пока остаются хотя бы два), не нарушая свойства несовместности.
3. Равновозможные события. Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если по условиям симметрии есть основание считать, что ни одно из нпх не является объективно более возможным, чем другое.
Заметим, что равновозможные события не могут появляться иначе, чем в опытах, обладающих симметрией возможных исходов; паше незнание о том, какое из нпх вероятнее, не есть основание для того, чтобы считать события равновозможнымтт.
Примеры равновозможных событий:
1) «выпадение герба» и «выпадение решки» прп бросании симметричной, «правильной» монеты;
24
ГЛ. 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
2) выпадение «трех», «четырех», «пяти» и «шести» очков при бросании симметричной, «правильной» игральной кости;
3) появление шара с номером «1», «2», «4» и «5» при вынимании наугад шара из урны, в которой 10 перенумерованных шаров;
4) появление шаров с номерами «2 и 3», «3 и 4», «5 и 8» при вынимании двух шаров из той же урны;
5) появление карточки «с буквой а», «с буквой ф» и «с буквой щ» при вынимании одной из тщательно перемешанных карточек детской азбуки;
6) появление карты «червонной», «бубновой», «трефовой» или «пиковой» масти при вынимании карты из колоды.
Заметим, что равновозможность событий в каждом из этих опытов обеспечивается специальными мерами (симметричное изготовление костп; тасовка карт; тщательное перемешивание шаров в урне и т. п.).
Из группы, содержащей более двух равновозможных событий можно исключать любые (кроме последних двух), не нарушая их равновозможности.
С опытами, обладающими симметрией возможных исходов, связываются особые группы событий, обладающие всеми тремя свойствами: они образуют полную группу, несовместны и равновозможны.
События, образующие такую группу, называются случаями (иначе «шансами»).
Примеры случаев:
1) появление «герба» и «решки» при бросании монеты;
2) появление «1», «2», «3», «4», «5» и «6» очков при бросании игральной костп;
3) появление шара с номером «1», «2», ... при вынимании одного шара из урны, в которой п перенумерованных шаров;
4) появление карты «червонной», «бубновой», «трефовой» и «пиковой» масти при вынимании одной карты из колоды в 36 листов.
Если опыт обладает симметрией возможных исходов, то случаи представляют собой исчерпывающий набор его равновозможных и исключающих друг друга исходов. Про такой опыт говорят, что он сводится к схеме случаев (иначе — к «схеме урн», ибо любую вероятностную задачу для такого опыта можно заменить экви-
1.2. НЕПОСРЕДСТВЕННЫЙ ПОДСЧЕТ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 25
валентной ей задачей, где фигурируют урны, содержащие шары тех или других цветов). Для таких опытов возможен непосредственный подсчет вероятностей, основанный на подсчете доли так называемых благоприятных случаев в общем их числе.
Случай называется благоприятным (или «благоприятствующим») событию Л, если появление этого случая влечет за собой появление данного события.
Например, при бросании игральной кости из шести случаев («1», «2», «3», «4», «5», «6» очков) событию А —-«появление четного числа очков» благоприятны три случая: «2», «4», «6» и не благоприятны остальные три. Событию В — «появление не менее 5 очков» благоприятны случаи «5», «6», и не благоприятны остальные четыре.
Если опыт сводится к схеме случаев, то вероятность события А в данном опыте можно вычислить как долю благоприятных случаев в общем их числе:
PW=V' (1.2.1)
где тА — число случаев, благоприятных событию А; п — общее число случаев.
Формула (1.2.1), так называемая «классическая формула» для вычисления вероятностей, предложенная еще в XVII веке, когда главным полем приложения теории вероятностей были азартные игры (в которых симметрия возможных исходов обеспечивается специальными мерами), долгое время (вплоть до XIX века) фигурировала в литературе как «определение вероятности»; те задачи, в которых схема случаев отсутствует, искусственными приемами сводились к ней. В настоящее время формального определения вероятности не дается (это понятие считается «первичным» и не определяется), а при его пояснении исходят из других принципов, непосредственно связывая его с понятием частоты события (см. п. 1.3). Применяется также аксиоматическое, теоретико-множественное построение теории вероятностей на основе общих положений теории множеств и небольшого числа аксиом (см. пп. 1.4, 1.5).
