Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
і.з. частота или статистическая вероятность 29
точно мпого раз и посмотреть, насколько часто будет появляться событие Л.
Очевидно, что вероятности таких событий, как
В = (попадание в цель при выстреле},
С = {выход из строя интегральной схемы в течение
одного часа работы},
D = {при контроле изделий будет выявлено за день
ровно т дефектных},
также не могут быть пайдены по формуле (1.2.1)—соответствующие опыты к схеме случаев не сводятся. Тем не менее, естественно предположить, что каждое из них обладает какой-то степенью объективной возможности, которая при многократном повторении соответствующих опытов будет отражаться в относительной частоте событий.
Мы будем исходить из предположения, что каждое из случайных событий (сводится опыт к схеме случаев или нет, лишь бы он был неограниченно воспроизводим) обладает какой-то вероятностью, заключенной между нулем и единицей. Для опытов, сводящихся к схеме случаев, подсчет вероятностей производится (прямо или косвенно) по формуле (1.2,1). С теми же опытами, которые к схеме случаев не сводятся, дело обстоит сложнее: прямое или косвенное нахождение вероятностей событий корнями своими уходит в сбор данных, статистику, массовый эксперимент.
Введем одно из важнейших понятий теории вероятностей — понятие частоты случайного события.
Если производится серия из п опытов, в каждом из которых может появиться или не появиться событие Л, то частотой события А в данной серии опытов называется отношение числа опытов, в которых появилось событие 4, к общему числу п произведенных опытов.
Частоту события часто называют его статистической вероятностью (в отличие от ранее введенной «математической» вероятности).
ч Подчеркнем, что для вычисления частоты события недостаточно знать условия опыта, нужно еще располагать каким-то массивом статистических данных. Частота — характеристика опытная, экспериментальная.
Условимся обозначать частоту (статистическую вероятность) события А знаком р*(А) (здесь и в дальней-
зо
ГЛ. і. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
пгем звездочка у буквы будет указывать на статистический характер соответствующего параметра). Согласно определению, частота события А вычисляется по формуле:
M
р* (А) - -—і u-3-1)
где п — число произведенных опытов (не путать с числом случаев в «классической схеме»!), МА — число опытов, в которых событие А появилось.
При небольшом п частота события носит в значительной мере случайный характер. Пусть, например, опыт — бросание монеты, событие А = (появление герба}. Вероятность этого события, по формуле (1.2.1), p(A) = «=1/2. Что касается частоты р* (А)у то она вовсе не обязана равняться 1/2 и даже быть близкой к ней. Например, при пяти бросаниях (п 5) вполне возможно, что герб появится только один раз: р* (Л) =» 1/5; менее вероятно, но тоже возможно, что он не появится вообще ни разу: р* (А) = 0, пли все пять раз: р* (A)=I. Одним словом, при малом числе опытов частота события непредсказуема, случайна. Однако при большом числе опытов п частота все больше теряет свой случайный характер: она проявляет тенденцию стабилизироваться, приближаясь, с незначительными колебаниями, к некоторой средней постоянной величине*). Например, при многократном бросании монеты частота появления герба будет лишь незначительно уклоняться от 1/2 — 0,5.
Для иллюстрации в табл. 1.3.1 приведены результаты серии из п GOO бросаний монеты (для простоты опыт подразделен на 60 «подсерий», в каждой из которых бросались одновременно 10 тщательно встряхнутых монет и подсчитывалось число выпавших гербов).
Для иллюстрации на рис. 1.3.1 изображена зависимость частоты р* (А) появления герба от числа опытов п.
Из этого графика видно, что по мере увеличения п частота проявляет тенденцию стабилизироваться, приближаясь сквозь ряд случайных отклонений к постоян-
*) Естественно, это справедливо только для тех случайных явлений, которые обладают свойством устойчивости частот (см. введение), но только такими явлениями и занимается теория ье-роятностеи.
1.3. ЧАСТОТА ИЛИ СТАТИСТИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ 31
ной величине, которую мы положим равной 0,5 (это — как раз вероятность P (А) появлення герба в одном опыте).
Из рассмотрения табл. 1.3.1 и графика рис. 1.3.1 мы можем сделать ряд поучительных выводов.
1. По мере увеличения числа опытов п частота события имеет тенденцию приближаться к его вероятности.
T а б л и ц а 1.3.1
Число
ОПЫТОВ 71
Р* (А)
п
Р* (-1)
п
Р* U)
10
0,600
210
0,462
410
0,502
20
0,650
220
0,472
420
0,512
30
0,600
230
0,470
430
0,512
40
0,575
240
0,479
440
0,514
50
0,540
250
0,484
450
0,519
00
0,550
260
0,477
460
0,515
70
0,528
270
0,489
470
0.5J5
80
0,512
280
0,482
480
0,510
90 -
0,588
290
0,493
490
0,508
100
0,490
300
0,497
500
0,510
110
0,550
310
0,500
5І0
0,506
120
0,492
320
0,503
520
0,516
130
0,523
330
