Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
Применяя этот термин, можно сказать, что при увеличении числа опытов п частота события не «стремится» к его вероятности, а «сходится к ней по вероятности».
Таким образом, вводя понятие частоты события и пользуясь связью между нею и вероятностью, мы получаем возможность приписать определенные вероятности, заключенные между нулем и единицей, не только событиям, для которых применима схема случаев, но и тем событиям, которые к этой схеме не сводятся; достаточно, чтобы опыт обладал свойством устойчивости частот, иными словами, мог быть неограниченно воспроизводим в практически одинаковых условиях. Тогда можпо, производя достаточно большое число опытов, приближенно положить искомую вероятность события равной его частоте.
В дальнейшем мы увидим, что для определения вероятности события в опыте, не сводящемся к схеме случаев, сравнительно редко надо непосредственно находить из серии опытов его частоту. Теория вероятностей располагает способами, позволяющими находить вероятности событий не прямо, а косвенно, через вероятности других событий, с пими связанных. В сущности, такие косвеппые способы и составляют главное содержание теории вероятностей. Но и при пользовании косвенными способами (если опыт не сводится к схеме случаев) в копечном итоге все же приходится обращаться к экспериментальным данным.
Выведем некоторые свойства частот, справедливые не только при большом, по и при любом числе опытов п.
1. Правило сложения часіот. Если два события А и В несовместны, то частота события С, состоящего в том, что появится А пли В (безразлично, какое имепно), равна сумме частот этих событий:
р* (С) - р* {А или В} = р* (А) + р* (В). (1.3.2)
Действительно, если число опытов, в которых появилось событие A9 равно МЛі а число опытов, в которых
1.3. ЧАСТОТА ИЛИ СТАТИСТИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ 35
2*
появилось событие В, равно Мв и события А и В несовместны, то
Р* (о = 1л±1± . + ? . р. (Л) + р*{в).
2. Правило умножения частот. Для любых двух событий AaB частота события Z), состоящего в том, что появятся оба события:
D = U и В)
равна частоте одного из них, умноженной на «условную частоту» другого, вычисленную в предположении, что первое имело место:
Р*(?>) = Р*{Л и В} = Р* (4)-Р* (Z?| Л), (1.3.3)
где Р* (В I А) — частота события Z?, вычисленная только для тех опытов, в которых произошло событие А (предполагается, что MA?=Q)t Действительно, пусть в MА опытах произошло событие А; в Mn опытах оно сопровождалось появлением события В, т. е. происходило событие D — ІА и В). Тогда частота события D
Mn MА Mn p*(Z))==_?s_A. о (1 34)
v ' п п M А 4 '
Но второй сохмножитель в формуле (1.3.4) есть не что иное, как частота события Z?, вычисленная только для тех опытов, в которых произошло событие А (назовем «условной частотой события В при наличии А» а обозначим Р* {В \ А)).
Заметим, что условную частоту события В при наличии А можно вычислить и исходя из p*(D) по формуле:
р* (В I А) - Р* (D)/P* (Л), (1.3.5)
т. е. условная частота события В при наличии А может быть получена делением частоты события D = {А а В) на частоту события А.
В дальнейшем мы увидим, что аналогичные правила сложения и умножения справедливы и для вероятностей событий.
Понятие частоты события является кардинально важным в теории вероятностей. Можно построить все ее здание, исходя из основного понятия частоты и постули-
36 ГЛ. І. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
руя свойства не вероятностей, а частот (такое построение теории вероятностей было еще в начале XX века предложено Р. Мизесом; да и в настоящее время некоторые авторы предпочитают излагать теорию вероятностей на частотной основе). С нашей точки зрения наиболее современным (н, что немаловажно, соответствующим традициям изложения теории вероятностей в университетах) является аксиоматический теоретико-множественный подход, связанный с идеями А. Н. Колмогорова; этого подхода мы и будем придерживаться в дальнейшем.
ГЛАВА 2
АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ПРАВИЛА СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ИХ СЛЕДСТВИЯ
2.1. Элементарные сведения из теории множеств
Напомним тому, кто их знает, и сообщим тому, кто впервые с ними встречается, основные понятия этой математической науки.
Множеством называется любая совокупность объектов произвольной природы, каждый пз которых называется элементом множества.
Примеры множеств: 1) множество студентов, обучающихся в данном вузе; 2) множество натуральных чисел, не превосходящих 100; 3) множество точек на плоскости, лежащих впутри или на границе круга радиуса г с центром в начале координат; 4) множество точек на числовой оси, расстояние от которых до точки с абсциссой а не превышает d.
Множества мы будем обозначать по-разному: или одной большой буквой, или перечислением его элементов, данным в фигурных скобках; или указанием (в тех же фигурных скобках) правила, по которому элемент относится к множеству. Например, множество M натуральных чисел от 1 до 100 может быть записано в виде:
